Номер 415, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 415, страница 169.

415 a) $x^2 - 3 + \frac{1}{x^2 - 3} = 2;$

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2};$

В) $\frac{x + 1}{x^2} - \frac{3x^2}{x + 1} = \frac{1}{2}.$

а) $x^2 - 3 + \frac{1}{x^2 - 3} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 3 \neq 0$, что означает $x^2 \neq 3$, и, следовательно, $x \neq \pm\sqrt{3}$.

Это уравнение решается методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $x^2 - 3$ повторяется. Сделаем замену: пусть $y = x^2 - 3$.

Тогда исходное уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = 2$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии $y \neq 0$, что выполняется согласно ОДЗ):

$y^2 + 1 = 2y$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 2y + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(y - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $y - 1 = 0$, то есть $y = 1$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 3$ вместо $y$:

$x^2 - 3 = 1$

$x^2 = 4$

Из этого уравнения находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны $\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

б) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{5}{2}$

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, т.е. $x \neq 0$ и $x^2 + 1 \neq 0$. Условие $x^2 + 1 \neq 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Заметим, что слагаемые в левой части уравнения являются взаимно обратными. Введем замену: пусть $y = \frac{x^2 + 1}{x}$.

Тогда второе слагаемое $\frac{x}{x^2 + 1}$ будет равно $\frac{1}{y}$. Уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2y$ (при $y \neq 0$):

$2y^2 + 2 = 5y$

Получим квадратное уравнение:

$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$y_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1) $y = \frac{1}{2}$:

$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{2}$

$2(x^2 + 1) = x$

$2x^2 - x + 2 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2) $y = 2$:

$\frac{x^2 + 1}{x} = 2$

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$.

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = 1$.

в) $\frac{x + 1}{x^2} - \frac{3x^2}{x + 1} = \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Введем замену. Пусть $y = \frac{x + 1}{x^2}$. Тогда $\frac{x^2}{x+1} = \frac{1}{y}$.

Подставим $y$ в уравнение:

$y - 3 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$

$y - \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на $2y$ (при $y \neq 0$):

$2y^2 - 6 = y$

Получим квадратное уравнение:

$2y^2 - y - 6 = 0$

Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

$y_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1) $y = -\frac{3}{2}$:

$\frac{x + 1}{x^2} = -\frac{3}{2}$

$2(x + 1) = -3x^2$

$3x^2 + 2x + 2 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4 - 24 = -20$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2) $y = 2$:

$\frac{x + 1}{x^2} = 2$

$x + 1 = 2x^2$

$2x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = 1$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq -1$).

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 1$.