Номер 421, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 421, страница 172.

421 Составьте разные уравнения по условию задачи. Решите её. Премиальный фонд в 72 000 р. решено было распределить в конце года между сотрудниками отдела поровну. В течение года 6 человек ушли из отдела, поэтому каждый из сотрудников получил на 1000 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников было в отделе первоначально и сколько стало к концу года?

Для решения этой задачи можно составить разные уравнения, выбрав в качестве неизвестной переменной либо первоначальное, либо конечное количество сотрудников. Рассмотрим оба способа.

Способ 1. Неизвестная — первоначальное количество сотрудников

Пусть $x$ — это первоначальное количество сотрудников в отделе. Тогда премия, которую планировалось выплатить каждому, составляет $\frac{72000}{x}$ рублей.

В течение года 6 человек ушли, следовательно, в отделе осталось $(x-6)$ сотрудников. Премиальный фонд был разделен между ними, и каждый получил $\frac{72000}{x-6}$ рублей.

По условию задачи, фактическая выплата оказалась на 1000 рублей больше планируемой. На основании этого составим уравнение:

$\frac{72000}{x-6} - \frac{72000}{x} = 1000$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 1000:

$\frac{72}{x-6} - \frac{72}{x} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-6)$:

$\frac{72x - 72(x-6)}{x(x-6)} = 1$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{72x - 72x + 432}{x^2 - 6x} = 1$

$\frac{432}{x^2 - 6x} = 1$

Так как количество сотрудников не может быть равно 0 или 6 (иначе знаменатель обращается в ноль), мы можем записать:

$x^2 - 6x = 432$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 432 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 42}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 42}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Количество сотрудников не может быть отрицательным, поэтому корень $x_2 = -18$ не соответствует условию задачи. Значит, первоначально в отделе было 24 сотрудника.

Количество сотрудников к концу года: $24 - 6 = 18$.

Ответ: первоначально в отделе было 24 сотрудника, а к концу года стало 18 сотрудников.

Способ 2. Неизвестная — конечное количество сотрудников

Пусть $y$ — это конечное количество сотрудников в отделе. Тогда фактическая премия на одного человека составила $\frac{72000}{y}$ рублей.

До того как 6 человек ушли, в отделе было $(y+6)$ сотрудников. Планируемая премия на каждого составляла $\frac{72000}{y+6}$ рублей.

Фактическая премия на 1000 рублей больше планируемой. Составим уравнение:

$\frac{72000}{y} - \frac{72000}{y+6} = 1000$

Разделим обе части на 1000:

$\frac{72}{y} - \frac{72}{y+6} = 1$

Приведем к общему знаменателю $y(y+6)$:

$\frac{72(y+6) - 72y}{y(y+6)} = 1$

$\frac{72y + 432 - 72y}{y^2 + 6y} = 1$

$\frac{432}{y^2 + 6y} = 1$

Учитывая, что $y \ne 0$ и $y \ne -6$, получаем:

$y^2 + 6y = 432$

$y^2 + 6y - 432 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

$\sqrt{D} = 42$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 42}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Корень $y_2 = -24$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, к концу года в отделе осталось 18 сотрудников.

Первоначальное количество сотрудников: $18 + 6 = 24$.

Ответ: первоначально в отделе было 24 сотрудника, а к концу года стало 18 сотрудников.