Номер 416, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 416, страница 171.

Ответьте на вопрос задачи, составив и решив уравнение

(416—420).

416 а) Иван проехал на велосипеде 24 км. На автомобиле за это же время при скорости, на 30 км/ч большей, он проехал бы 84 км. С какой скоростью ехал Иван на велосипеде? За какое время он проехал это расстояние?

б) За одно и то же время пешеход прошёл 16 км, а велосипедист проехал 40 км. Скорость велосипедиста была больше скорости пешехода на 6 км/ч. Поставьте возможные вопросы к задаче и ответьте на них.

а)

Пусть $x$ км/ч — скорость Ивана на велосипеде. Тогда его скорость на автомобиле, которая на 30 км/ч больше, составляет $(x + 30)$ км/ч.
Время, затраченное на поездку на велосипеде, вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 24$ км, а $v = x$ км/ч. Таким образом, время равно $\frac{24}{x}$ ч.
Время, которое было бы затрачено на поездку на автомобиле, составляет $\frac{84}{x+30}$ ч.
Поскольку время в обоих случаях одинаковое, мы можем составить уравнение:

$\frac{24}{x} = \frac{84}{x+30}$

Для решения этого уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (перекрёстное умножение), учитывая, что скорость $x$ не может быть равна нулю или отрицательному числу:

$24 \cdot (x+30) = 84 \cdot x$

$24x + 720 = 84x$

Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону:

$720 = 84x - 24x$

$720 = 60x$

$x = \frac{720}{60}$

$x = 12$

Таким образом, скорость Ивана на велосипеде составляет 12 км/ч. Это ответ на первый вопрос задачи.

Чтобы ответить на второй вопрос, найдём, за какое время он проехал это расстояние. Подставим найденное значение скорости в выражение для времени:

$t = \frac{24}{x} = \frac{24}{12} = 2$ ч.

Ответ: скорость Ивана на велосипеде — 12 км/ч; он проехал это расстояние за 2 часа.

б)

В этой задаче даны расстояния и разница в скоростях пешехода и велосипедиста, которые двигались одинаковое время. Возможные вопросы к задаче:

1. Какова скорость пешехода?
2. Какова скорость велосипедиста?
3. Сколько времени они были в пути?

Чтобы ответить на эти вопросы, составим и решим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода. Так как скорость велосипедиста на 6 км/ч больше, она равна $(x+6)$ км/ч.
Время движения пешехода: $t = \frac{16}{x}$ ч.
Время движения велосипедиста: $t = \frac{40}{x+6}$ ч.
Поскольку время движения одинаково, приравняем эти два выражения:

$\frac{16}{x} = \frac{40}{x+6}$

Решим уравнение методом перекрёстного умножения:

$16 \cdot (x+6) = 40 \cdot x$

$16x + 96 = 40x$

$96 = 40x - 16x$

$96 = 24x$

$x = \frac{96}{24}$

$x = 4$

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы:

1. Скорость пешехода ($x$) равна 4 км/ч.
2. Скорость велосипедиста ($x+6$) равна $4+6 = 10$ км/ч.
3. Время в пути можно найти, подставив $x$ в любое из выражений для времени: $t = \frac{16}{4} = 4$ часа.

Ответ: возможные вопросы: 1. Какова скорость пешехода? 2. Какова скорость велосипедиста? 3. Сколько времени они были в пути? Ответы: 1. Скорость пешехода — 4 км/ч. 2. Скорость велосипедиста — 10 км/ч. 3. Время в пути — 4 часа.