Номер 411, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 411, страница 169.

411 Функции заданы формулами:

$y = \frac{1}{x^2+1}$; $y = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$; $y = \frac{x^2}{x^2+1}$; $y = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$.

Для каждой функции определите, пересекает ли её график ось x, и если пересекает, то в каких точках.

$y = \frac{1}{x^2 + 1}$
Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью x (осью абсцисс), необходимо значение функции приравнять к нулю, так как на этой оси координата y всегда равна нулю. Решим уравнение $y=0$:
$\frac{1}{x^2 + 1} = 0$
Данное уравнение не имеет решений, так как дробь может равняться нулю только в том случае, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно нулю. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен для любого действительного $x$. Таким образом, график этой функции не имеет точек пересечения с осью x.
Ответ: график функции не пересекает ось x.

$y = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$
Приравняем функцию к нулю для нахождения точек пересечения с осью x:
$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2-1$:
$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = 0$
$\frac{(x+1) + (x-1)}{x^2-1} = 0$
$\frac{2x}{x^2-1} = 0$
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: $2x=0$, откуда $x=0$.
Найденное значение $x=0$ удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, график функции пересекает ось x в точке, абсцисса которой равна 0. Ордината в этой точке также равна 0. Точка пересечения: (0, 0).
Ответ: график функции пересекает ось x в точке (0, 0).

$y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$
Приравняем функцию к нулю:
$\frac{x^2}{x^2 + 1} = 0$
Знаменатель $x^2+1$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$), поэтому ОДЗ — все действительные числа.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
$x^2 = 0$
$x = 0$
График функции пересекает ось x в единственной точке (0, 0).
Ответ: график функции пересекает ось x в точке (0, 0).

$y = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$
Приравняем функцию к нулю:
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = 0$
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$:
$\frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0$
$\frac{x+1 - x + 1}{x^2 - 1} = 0$
$\frac{2}{x^2 - 1} = 0$
Данное уравнение не имеет решений, так как его числитель равен 2 и никогда не может быть равен нулю.
Следовательно, график функции не пересекает ось x.
Ответ: график функции не пересекает ось x.