Номер 406, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 406, страница 168.

406 a) $\frac{6}{x} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{4x+6}{x^2+2x}$

б) $\frac{6}{x-2} + \frac{2}{x} = \frac{x-3}{x^2-2x}$

В) $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{6x-x^2}$

Г) $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{5x-x^2}$

а) Запишем уравнение: $\frac{6}{x} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{4x+6}{x^2+2x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Знаменатель в правой части $x^2+2x = x(x+2)$, что не добавляет новых ограничений. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$: $\frac{6(x+2)}{x(x+2)} + \frac{x(x+3)}{x(x+2)} = \frac{4x+6}{x(x+2)}$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+2)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ): $6(x+2) + x(x+3) = 4x+6$. Раскроем скобки: $6x + 12 + x^2 + 3x = 4x+6$. Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 9x + 12 = 4x+6$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 9x - 4x + 12 - 6 = 0$. $x^2 + 5x + 6 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -5$ $x_1 \cdot x_2 = 6$ Отсюда $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -2$), поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: -3.

б) Запишем уравнение: $\frac{6}{x-2} + \frac{2}{x} = \frac{x-3}{x^2-2x}$. ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq 0$. Знаменатель $x^2-2x = x(x-2)$ не добавляет новых ограничений. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Общий знаменатель: $x(x-2)$. Умножим уравнение на $x(x-2)$: $6x + 2(x-2) = x-3$. Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение: $6x + 2x - 4 = x-3$. $8x - 4 = x-3$. $8x - x = 4-3$. $7x = 1$. $x = \frac{1}{7}$. Полученный корень $x = \frac{1}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) Запишем уравнение: $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{6x-x^2}$. Преобразуем знаменатель в правой части: $6x-x^2 = -x(x-6)$. Уравнение примет вид: $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{-x(x-6)}$, или $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = -\frac{6}{x(x-6)}$. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-6 \neq 0 \implies x \neq 6$. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 6$. Общий знаменатель: $x(x-6)$. Умножим уравнение на $x(x-6)$: $(x-1)(x-6) - 1 \cdot x = -6$. Раскроем скобки: $x^2 - 6x - x + 6 - x = -6$. $x^2 - 8x + 6 = -6$. $x^2 - 8x + 12 = 0$. Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$ $x_1 \cdot x_2 = 12$ Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 6$), поэтому является посторонним.
Ответ: 2.

г) Запишем уравнение: $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{5x-x^2}$. Преобразуем знаменатель справа: $5x-x^2 = -x(x-5)$. Уравнение примет вид: $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{-x(x-5)}$, или $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = -\frac{x-20}{x(x-5)}$. Удобнее записать так: $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{20-x}{x(x-5)}$. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 5$. Общий знаменатель: $x(x-5)$. Умножим уравнение на $x(x-5)$: $4(x-5) + 3x = 20-x$. Раскроем скобки и решим линейное уравнение: $4x - 20 + 3x = 20-x$. $7x - 20 = 20-x$. $7x + x = 20+20$. $8x = 40$. $x = 5$. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x = 5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), следовательно, является посторонним. Других корней нет.
Ответ: корней нет.