Номер 402, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 402, страница 167.

402 a) $\frac{4}{x+7} = \frac{2}{5}$;

б) $\frac{y-5}{y+5} = \frac{1}{3}$;

В) $\frac{15}{8-z} - \frac{1}{z} = 0$;

Г) $\frac{3}{x-4} = \frac{4}{x-3}$;

Д) $\frac{t}{2t-3} - \frac{3}{t} = 0$;

е) $\frac{2-z}{3-z} = \frac{z}{z+4}$;

Ж) $\frac{2y-1}{y} = \frac{y+7}{y+3}$;

З) $\frac{3(x-1)}{x(x+1)} - \frac{1}{2} = 0$.

а) Исходное уравнение: $ \frac{4}{x+7} = \frac{2}{5} $
Это пропорция. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x+7 \neq 0 $, откуда $ x \neq -7 $.
Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ 4 \cdot 5 = 2 \cdot (x+7) $
$ 20 = 2x + 14 $
Перенесем 14 в левую часть:
$ 20 - 14 = 2x $
$ 6 = 2x $
$ x = \frac{6}{2} $
$ x = 3 $
Корень $ x=3 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 3 \neq -7 $).
Ответ: 3.

б) Исходное уравнение: $ \frac{y-5}{y+5} = \frac{1}{3} $
Это пропорция. ОДЗ: $ y+5 \neq 0 $, откуда $ y \neq -5 $.
Применим перекрестное умножение:
$ 3 \cdot (y-5) = 1 \cdot (y+5) $
$ 3y - 15 = y + 5 $
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:
$ 3y - y = 5 + 15 $
$ 2y = 20 $
$ y = \frac{20}{2} $
$ y = 10 $
Корень $ y=10 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 10 \neq -5 $).
Ответ: 10.

в) Исходное уравнение: $ \frac{15}{8-z} - \frac{1}{z} = 0 $
ОДЗ: $ 8-z \neq 0 $ и $ z \neq 0 $, то есть $ z \neq 8 $ и $ z \neq 0 $.
Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения:
$ \frac{15}{8-z} = \frac{1}{z} $
Получили пропорцию. Применим перекрестное умножение:
$ 15 \cdot z = 1 \cdot (8-z) $
$ 15z = 8 - z $
$ 15z + z = 8 $
$ 16z = 8 $
$ z = \frac{8}{16} $
$ z = \frac{1}{2} $
Корень $ z = \frac{1}{2} $ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{2} \neq 8 $ и $ \frac{1}{2} \neq 0 $).
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) Исходное уравнение: $ \frac{3}{x-4} = \frac{4}{x-3} $
Это пропорция. ОДЗ: $ x-4 \neq 0 $ и $ x-3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 4 $ и $ x \neq 3 $.
Применим перекрестное умножение:
$ 3 \cdot (x-3) = 4 \cdot (x-4) $
$ 3x - 9 = 4x - 16 $
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а числа — в левую:
$ 16 - 9 = 4x - 3x $
$ 7 = x $
Корень $ x=7 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 7 \neq 4 $ и $ 7 \neq 3 $).
Ответ: 7.

д) Исходное уравнение: $ \frac{t}{2t-3} - \frac{3}{t} = 0 $
ОДЗ: $ 2t-3 \neq 0 $ и $ t \neq 0 $, то есть $ t \neq \frac{3}{2} $ и $ t \neq 0 $.
Перенесем вторую дробь в правую часть:
$ \frac{t}{2t-3} = \frac{3}{t} $
Применим перекрестное умножение:
$ t \cdot t = 3 \cdot (2t-3) $
$ t^2 = 6t - 9 $
Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ t^2 - 6t + 9 = 0 $
Это формула квадрата разности: $ (t-3)^2 = 0 $
$ t - 3 = 0 $
$ t = 3 $
Корень $ t=3 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 3 \neq \frac{3}{2} $ и $ 3 \neq 0 $).
Ответ: 3.

е) Исходное уравнение: $ \frac{2-z}{3-z} = \frac{z}{z+4} $
Это пропорция. ОДЗ: $ 3-z \neq 0 $ и $ z+4 \neq 0 $, то есть $ z \neq 3 $ и $ z \neq -4 $.
Применим перекрестное умножение:
$ (2-z)(z+4) = z(3-z) $
Раскроем скобки:
$ 2z + 8 - z^2 - 4z = 3z - z^2 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ -z^2 - 2z + 8 = 3z - z^2 $
Прибавим $ z^2 $ к обеим частям уравнения:
$ -2z + 8 = 3z $
$ 8 = 3z + 2z $
$ 8 = 5z $
$ z = \frac{8}{5} = 1.6 $
Корень $ z = 1.6 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 1.6 \neq 3 $ и $ 1.6 \neq -4 $).
Ответ: 1,6.

ж) Исходное уравнение: $ \frac{2y-1}{y} = \frac{y+7}{y+3} $
Это пропорция. ОДЗ: $ y \neq 0 $ и $ y+3 \neq 0 $, то есть $ y \neq 0 $ и $ y \neq -3 $.
Применим перекрестное умножение:
$ (2y-1)(y+3) = y(y+7) $
Раскроем скобки:
$ 2y^2 + 6y - y - 3 = y^2 + 7y $
$ 2y^2 + 5y - 3 = y^2 + 7y $
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ 2y^2 - y^2 + 5y - 7y - 3 = 0 $
$ y^2 - 2y - 3 = 0 $
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$ y_1 + y_2 = 2 $
$ y_1 \cdot y_2 = -3 $
Подбором находим корни: $ y_1 = 3 $ и $ y_2 = -1 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ 3 \neq 0, 3 \neq -3 $ и $ -1 \neq 0, -1 \neq -3 $).
Ответ: -1; 3.

з) Исходное уравнение: $ \frac{3(x-1)}{x(x+1)} - \frac{1}{2} = 0 $
ОДЗ: $ x(x+1) \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $ и $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 0 $ и $ x \neq -1 $.
Перенесем $ \frac{1}{2} $ в правую часть:
$ \frac{3(x-1)}{x(x+1)} = \frac{1}{2} $
Применим перекрестное умножение:
$ 2 \cdot 3(x-1) = 1 \cdot x(x+1) $
$ 6(x-1) = x^2 + x $
$ 6x - 6 = x^2 + x $
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$ 0 = x^2 + x - 6x + 6 $
$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = 5 $
$ x_1 \cdot x_2 = 6 $
Подбором находим корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ 2 \neq 0, 2 \neq -1 $ и $ 3 \neq 0, 3 \neq -1 $).
Ответ: 2; 3.