Номер 396, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 396, страница 166.

396 a) $ \frac{2}{y+1} - \frac{3}{2(y+1)} = 5; $

б) $ \frac{1}{3(z-2)} = \frac{3}{z-2} + 1; $

В) $ 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-x}; $

Г) $ \frac{x+7}{3x-6} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3}; $

Д) $ \frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y^2-y}; $

Е) $ \frac{3z-1}{4z+12} + \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4}. $

а) $\frac{2}{y+1} - \frac{3}{2(y+1)} = 5$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели не равны нулю: $y+1 \neq 0$, следовательно, $y \neq -1$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $2(y+1)$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$\frac{2 \cdot 2}{2(y+1)} - \frac{3}{2(y+1)} = 5$

$\frac{4-3}{2(y+1)} = 5$

$\frac{1}{2(y+1)} = 5$

Умножим обе части уравнения на $2(y+1)$, так как мы уже установили, что $y \neq -1$:

$1 = 5 \cdot 2(y+1)$

$1 = 10(y+1)$

$1 = 10y + 10$

$10y = 1 - 10$

$10y = -9$

$y = -0.9$

Полученное значение $y=-0.9$ не противоречит ОДЗ ($y \neq -1$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $y = -0.9$

б) $\frac{1}{3(z-2)} = \frac{3}{z-2} + 1$

ОДЗ: $z-2 \neq 0$, следовательно, $z \neq 2$.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель $3(z-2)$:

$3(z-2) \cdot \frac{1}{3(z-2)} = 3(z-2) \cdot \frac{3}{z-2} + 3(z-2) \cdot 1$

$1 = 3 \cdot 3 + 3(z-2)$

$1 = 9 + 3z - 6$

$1 = 3 + 3z$

$3z = 1 - 3$

$3z = -2$

$z = -\frac{2}{3}$

Корень $z = -\frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($z \neq 2$).

Ответ: $z = -\frac{2}{3}$

в) $1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-x}$

Разложим знаменатель $x^2-x$ на множители: $x(x-1)$. Уравнение примет вид:

$1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x(x-1)}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, т.е. $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-1)$:

$1 \cdot x(x-1) + \frac{2}{x-1} \cdot x(x-1) = \frac{2}{x(x-1)} \cdot x(x-1)$

$x^2 - x + 2x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а их сумма равна -1. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -2$

г) $\frac{x+7}{3x-6} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3}$

Разложим знаменатель $3x-6$ на множители: $3(x-2)$. Уравнение примет вид:

$\frac{x+7}{3(x-2)} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель $3(x-2)$:

$(x+7) - 3(2x-3) = 1(x-2)$

$x + 7 - 6x + 9 = x - 2$

$-5x + 16 = x - 2$

$16 + 2 = x + 5x$

$18 = 6x$

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $x = 3$

д) $\frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y^2-y}$

Разложим знаменатель $y^2-y$ на множители: $y(y-1)$. Уравнение примет вид:

$\frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y(y-1)}$

ОДЗ: $y \neq 0$ и $y-1 \neq 0$, т.е. $y \neq 0$ и $y \neq 1$.

Умножим обе части на общий знаменатель $y(y-1)$:

$(y+1) \cdot y = 2$

$y^2 + y = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -2$, $y_1 + y_2 = -1$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1 = 1$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $y \neq 1$. Корень $y_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = -2$

е) $\frac{3z-1}{4z+12} + \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4}$

Разложим знаменатель $4z+12$ на множители: $4(z+3)$. Уравнение примет вид:

$\frac{3z-1}{4(z+3)} + \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4}$

ОДЗ: $z+3 \neq 0$, следовательно, $z \neq -3$.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель $4(z+3)$:

$(3z-1) + 4(z+2) = 1(z+3)$

$3z - 1 + 4z + 8 = z + 3$

$7z + 7 = z + 3$

$7z - z = 3 - 7$

$6z = -4$

$z = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Корень $z = -\frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($z \neq -3$).

Ответ: $z = -\frac{2}{3}$