Страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (395–398) Решите уравнение.

395 а) $\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6;$

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1;$

в) $\frac{z-2}{z} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3};$

г) $\frac{y-1}{y} - \frac{4}{y^2} = 1;$

д) $\frac{8}{t^2} - \frac{2-t}{t} = 2;$

е) $\frac{4}{15x} - \frac{1}{5} = \frac{2-x}{3x}.$

а) Дано уравнение $\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \neq 0$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $4x$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 4:
$\frac{4 \cdot 4}{4x} - \frac{7}{4x} = 6$
$\frac{16 - 7}{4x} = 6$
$\frac{9}{4x} = 6$
Умножим обе части уравнения на $4x$, чтобы избавиться от знаменателя:
$9 = 6 \cdot 4x$
$9 = 24x$
$x = \frac{9}{24}$
Сократим дробь на 3: $x = \frac{3}{8}$.
Полученный корень удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $\frac{3}{8}$.

б) Дано уравнение $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1$.
ОДЗ: $y \neq 0$.
Перенесем все члены с переменной в левую часть, а числовые члены - в правую:
$\frac{5}{2y} - \frac{3}{y} = 1 - \frac{1}{2}$
Приведем дроби к общим знаменателям в обеих частях. Общий знаменатель для левой части - $2y$, для правой - 2.
$\frac{5}{2y} - \frac{3 \cdot 2}{2y} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$
$\frac{5 - 6}{2y} = \frac{1}{2}$
$\frac{-1}{2y} = \frac{1}{2}$
Отсюда следует, что $2y = -2$.
$y = -1$.
Корень $y = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0$).
Ответ: $-1$.

в) Дано уравнение $\frac{z-2}{z} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3}$.
ОДЗ: $z \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $3z$:
$3z \cdot \frac{z-2}{z} = 3z \cdot \frac{4}{3z} - 3z \cdot \frac{z}{3}$
$3(z-2) = 4 - z \cdot z$
$3z - 6 = 4 - z^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$z^2 + 3z - 6 - 4 = 0$
$z^2 + 3z - 10 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $z_1 + z_2 = -3$, а их произведение $z_1 \cdot z_2 = -10$.
Подбором находим корни: $z_1 = -5$ и $z_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($z \neq 0$).
Ответ: $-5; 2$.

г) Дано уравнение $\frac{y-1}{y} - \frac{4}{y^2} = 1$.
ОДЗ: $y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $y^2$:
$y^2 \cdot \frac{y-1}{y} - y^2 \cdot \frac{4}{y^2} = y^2 \cdot 1$
$y(y-1) - 4 = y^2$
$y^2 - y - 4 = y^2$
Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:
$-y - 4 = 0$
$-y = 4$
$y = -4$.
Корень $y = -4$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0$).
Ответ: $-4$.

д) Дано уравнение $\frac{8}{t^2} - \frac{2-t}{t} = 2$.
ОДЗ: $t \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $t^2$:
$t^2 \cdot \frac{8}{t^2} - t^2 \cdot \frac{2-t}{t} = t^2 \cdot 2$
$8 - t(2-t) = 2t^2$
$8 - 2t + t^2 = 2t^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 2t^2 - t^2 + 2t - 8$
$t^2 + 2t - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = -2$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -8$.
Подбором находим корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($t \neq 0$).
Ответ: $-4; 2$.

е) Дано уравнение $\frac{4}{15x} - \frac{1}{5} = \frac{2-x}{3x}$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Наименьший общий знаменатель для дробей равен $15x$. Умножим на него обе части уравнения:
$15x \cdot \frac{4}{15x} - 15x \cdot \frac{1}{5} = 15x \cdot \frac{2-x}{3x}$
$4 - 3x \cdot 1 = 5 \cdot (2-x)$
$4 - 3x = 10 - 5x$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числовые члены - в правую:
$-3x + 5x = 10 - 4$
$2x = 6$
$x = 3$.
Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $3$.

396 a) $ \frac{2}{y+1} - \frac{3}{2(y+1)} = 5; $

б) $ \frac{1}{3(z-2)} = \frac{3}{z-2} + 1; $

В) $ 1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-x}; $

Г) $ \frac{x+7}{3x-6} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3}; $

Д) $ \frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y^2-y}; $

Е) $ \frac{3z-1}{4z+12} + \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4}. $

а) $\frac{2}{y+1} - \frac{3}{2(y+1)} = 5$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатели не равны нулю: $y+1 \neq 0$, следовательно, $y \neq -1$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $2(y+1)$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$\frac{2 \cdot 2}{2(y+1)} - \frac{3}{2(y+1)} = 5$

$\frac{4-3}{2(y+1)} = 5$

$\frac{1}{2(y+1)} = 5$

Умножим обе части уравнения на $2(y+1)$, так как мы уже установили, что $y \neq -1$:

$1 = 5 \cdot 2(y+1)$

$1 = 10(y+1)$

$1 = 10y + 10$

$10y = 1 - 10$

$10y = -9$

$y = -0.9$

Полученное значение $y=-0.9$ не противоречит ОДЗ ($y \neq -1$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $y = -0.9$

б) $\frac{1}{3(z-2)} = \frac{3}{z-2} + 1$

ОДЗ: $z-2 \neq 0$, следовательно, $z \neq 2$.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель $3(z-2)$:

$3(z-2) \cdot \frac{1}{3(z-2)} = 3(z-2) \cdot \frac{3}{z-2} + 3(z-2) \cdot 1$

$1 = 3 \cdot 3 + 3(z-2)$

$1 = 9 + 3z - 6$

$1 = 3 + 3z$

$3z = 1 - 3$

$3z = -2$

$z = -\frac{2}{3}$

Корень $z = -\frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($z \neq 2$).

Ответ: $z = -\frac{2}{3}$

в) $1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x^2-x}$

Разложим знаменатель $x^2-x$ на множители: $x(x-1)$. Уравнение примет вид:

$1 + \frac{2}{x-1} = \frac{2}{x(x-1)}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, т.е. $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-1)$:

$1 \cdot x(x-1) + \frac{2}{x-1} \cdot x(x-1) = \frac{2}{x(x-1)} \cdot x(x-1)$

$x^2 - x + 2x = 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а их сумма равна -1. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -2$

г) $\frac{x+7}{3x-6} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3}$

Разложим знаменатель $3x-6$ на множители: $3(x-2)$. Уравнение примет вид:

$\frac{x+7}{3(x-2)} - \frac{2x-3}{x-2} = \frac{1}{3}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель $3(x-2)$:

$(x+7) - 3(2x-3) = 1(x-2)$

$x + 7 - 6x + 9 = x - 2$

$-5x + 16 = x - 2$

$16 + 2 = x + 5x$

$18 = 6x$

$x = \frac{18}{6}$

$x = 3$

Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $x = 3$

д) $\frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y^2-y}$

Разложим знаменатель $y^2-y$ на множители: $y(y-1)$. Уравнение примет вид:

$\frac{y+1}{y-1} = \frac{2}{y(y-1)}$

ОДЗ: $y \neq 0$ и $y-1 \neq 0$, т.е. $y \neq 0$ и $y \neq 1$.

Умножим обе части на общий знаменатель $y(y-1)$:

$(y+1) \cdot y = 2$

$y^2 + y = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -2$, $y_1 + y_2 = -1$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1 = 1$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $y \neq 1$. Корень $y_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y = -2$

е) $\frac{3z-1}{4z+12} + \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4}$

Разложим знаменатель $4z+12$ на множители: $4(z+3)$. Уравнение примет вид:

$\frac{3z-1}{4(z+3)} + \frac{z+2}{z+3} = \frac{1}{4}$

ОДЗ: $z+3 \neq 0$, следовательно, $z \neq -3$.

Умножим все члены уравнения на общий знаменатель $4(z+3)$:

$(3z-1) + 4(z+2) = 1(z+3)$

$3z - 1 + 4z + 8 = z + 3$

$7z + 7 = z + 3$

$7z - z = 3 - 7$

$6z = -4$

$z = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Корень $z = -\frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($z \neq -3$).

Ответ: $z = -\frac{2}{3}$

397 а) $ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + 1; $

б) $ \frac{z}{z-4} + \frac{6}{z} = 1; $

В) $ \frac{1}{t-6} + 3 = \frac{10}{t}; $

Г) $ \frac{4}{y-2} - \frac{3}{y} = \frac{1}{2}; $

Д) $ \frac{y}{y-1} + \frac{6}{y+1} = 4; $

Е) $ \frac{8}{z-2} - 1 = \frac{8}{z+2}; $

Ж) $ \frac{4}{x} + \frac{7}{2x+3} = 3; $

З) $ \frac{3}{2t-1} = 1 - \frac{4}{2t+1}. $

а) Исходное уравнение: $ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + 1 $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq 0 $ и $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $.

Приведем правую часть к общему знаменателю $ x+1 $:

$ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} $

$ \frac{5}{x} = \frac{8 + x + 1}{x+1} $

$ \frac{5}{x} = \frac{x+9}{x+1} $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ 5(x+1) = x(x+9) $

$ 5x + 5 = x^2 + 9x $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 + 9x - 5x - 5 = 0 $

$ x^2 + 4x - 5 = 0 $

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $.

$ x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 $

$ x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x_1 = 1, x_2 = -5 $

б) Исходное уравнение: $ \frac{z}{z-4} + \frac{6}{z} = 1 $

ОДЗ: $ z-4 \neq 0 $ и $ z \neq 0 $, то есть $ z \neq 4 $ и $ z \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ z(z-4) $:

$ z \cdot z + 6(z-4) = 1 \cdot z(z-4) $

$ z^2 + 6z - 24 = z^2 - 4z $

Перенесем члены с $ z $ в одну сторону, а числа - в другую:

$ 6z + 4z = 24 $

$ 10z = 24 $

$ z = \frac{24}{10} = 2.4 $

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ z = 2.4 $

в) Исходное уравнение: $ \frac{1}{t-6} + 3 = \frac{10}{t} $

ОДЗ: $ t-6 \neq 0 $ и $ t \neq 0 $, то есть $ t \neq 6 $ и $ t \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ t(t-6) $:

$ 1 \cdot t + 3 \cdot t(t-6) = 10(t-6) $

$ t + 3t^2 - 18t = 10t - 60 $

$ 3t^2 - 17t = 10t - 60 $

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ 3t^2 - 17t - 10t + 60 = 0 $

$ 3t^2 - 27t + 60 = 0 $

Разделим уравнение на 3:

$ t^2 - 9t + 20 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней $ t_1 + t_2 = 9 $, а произведение $ t_1 \cdot t_2 = 20 $. Подбираем корни: $ t_1 = 4 $ и $ t_2 = 5 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ t_1 = 4, t_2 = 5 $

г) Исходное уравнение: $ \frac{4}{y-2} - \frac{3}{y} = \frac{1}{2} $

ОДЗ: $ y-2 \neq 0 $ и $ y \neq 0 $, то есть $ y \neq 2 $ и $ y \neq 0 $.

Умножим обе части на общий знаменатель $ 2y(y-2) $:

$ 4 \cdot 2y - 3 \cdot 2(y-2) = 1 \cdot y(y-2) $

$ 8y - 6y + 12 = y^2 - 2y $

$ 2y + 12 = y^2 - 2y $

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ y^2 - 4y - 12 = 0 $

Решим с помощью дискриминанта: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $.

$ y_1 = \frac{4+8}{2} = 6 $

$ y_2 = \frac{4-8}{2} = -2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ y_1 = 6, y_2 = -2 $

д) Исходное уравнение: $ \frac{y}{y-1} + \frac{6}{y+1} = 4 $

ОДЗ: $ y-1 \neq 0 $ и $ y+1 \neq 0 $, то есть $ y \neq 1 $ и $ y \neq -1 $.

Умножим обе части на общий знаменатель $ (y-1)(y+1) = y^2 - 1 $:

$ y(y+1) + 6(y-1) = 4(y^2-1) $

$ y^2 + y + 6y - 6 = 4y^2 - 4 $

$ y^2 + 7y - 6 = 4y^2 - 4 $

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ 3y^2 - 7y + 2 = 0 $

Решим с помощью дискриминанта: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2 $.

$ y_1 = \frac{7+5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $

$ y_2 = \frac{7-5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ y_1 = 2, y_2 = \frac{1}{3} $

е) Исходное уравнение: $ \frac{8}{z-2} - 1 = \frac{8}{z+2} $

ОДЗ: $ z-2 \neq 0 $ и $ z+2 \neq 0 $, то есть $ z \neq 2 $ и $ z \neq -2 $.

Перегруппируем члены уравнения:

$ \frac{8}{z-2} - \frac{8}{z+2} = 1 $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (z-2)(z+2) = z^2 - 4 $:

$ \frac{8(z+2) - 8(z-2)}{z^2-4} = 1 $

$ \frac{8z + 16 - 8z + 16}{z^2-4} = 1 $

$ \frac{32}{z^2-4} = 1 $

$ 32 = z^2 - 4 $

$ z^2 = 36 $

$ z_1 = 6, z_2 = -6 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ z_1 = 6, z_2 = -6 $

ж) Исходное уравнение: $ \frac{4}{x} + \frac{7}{2x+3} = 3 $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ 2x+3 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1.5 $.

Умножим обе части на общий знаменатель $ x(2x+3) $:

$ 4(2x+3) + 7x = 3x(2x+3) $

$ 8x + 12 + 7x = 6x^2 + 9x $

$ 15x + 12 = 6x^2 + 9x $

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ 6x^2 - 6x - 12 = 0 $

Разделим уравнение на 6:

$ x^2 - x - 2 = 0 $

По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 1, x_1 \cdot x_2 = -2 $. Корни: $ x_1 = 2, x_2 = -1 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x_1 = 2, x_2 = -1 $

з) Исходное уравнение: $ \frac{3}{2t-1} = 1 - \frac{4}{2t+1} $

ОДЗ: $ 2t-1 \neq 0 $ и $ 2t+1 \neq 0 $, то есть $ t \neq 0.5 $ и $ t \neq -0.5 $.

Перенесем дробь в левую часть:

$ \frac{3}{2t-1} + \frac{4}{2t+1} = 1 $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (2t-1)(2t+1) = 4t^2 - 1 $:

$ \frac{3(2t+1) + 4(2t-1)}{4t^2-1} = 1 $

$ \frac{6t+3+8t-4}{4t^2-1} = 1 $

$ \frac{14t-1}{4t^2-1} = 1 $

$ 14t - 1 = 4t^2 - 1 $

$ 4t^2 - 14t = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2t $ за скобки:

$ 2t(2t - 7) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ 2t = 0 \implies t_1 = 0 $

$ 2t - 7 = 0 \implies 2t = 7 \implies t_2 = \frac{7}{2} = 3.5 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ t_1 = 0, t_2 = 3.5 $

398 a) $z - \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$;

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$;

В) $2y = 5 - \frac{3}{y}$;

Г) $\frac{5}{x} + x = 6$;

Д) $8 - \frac{1}{y} = 7y$;

е) $6 = \frac{5}{z} - z$.

а) $z - \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$

Для решения данного рационального уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $z \neq 0$.

Далее, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $15z$, чтобы избавиться от дробей:

$15z \cdot z - 15z \cdot \frac{1}{z} = 15z \cdot \frac{16}{15}$

$15z^2 - 15 = 16z$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $az^2 + bz + c = 0$:

$15z^2 - 16z - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Вычислим корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{16 - 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$
$z_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{3}{5}; \frac{5}{3}$.

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$

ОДЗ: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $2x$:

$2x \cdot x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2x \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)$

$2x^2 + 2 = -5x$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$\sqrt{D} = 3$.

Найдем корни:
$x_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$
$x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; -\frac{1}{2}$.

в) $2y = 5 - \frac{3}{y}$

ОДЗ: $y \neq 0$. Перенесем все члены в левую часть и умножим на $y$:

$2y - 5 + \frac{3}{y} = 0$

$y \cdot (2y - 5 + \frac{3}{y}) = 0 \cdot y$

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$\sqrt{D} = 1$.

Найдем корни:
$y_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{3}{2}$.

г) $\frac{5}{x} + x = 6$

ОДЗ: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot \frac{5}{x} + x \cdot x = 6 \cdot x$

$5 + x^2 = 6x$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Можно решить по теореме Виета: сумма корней равна $6$, а их произведение равно $5$. Отсюда корни $x_1=1$ и $x_2=5$.
Или через дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
$\sqrt{D} = 4$.

$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 5$.

д) $8 - \frac{1}{y} = 7y$

ОДЗ: $y \neq 0$. Умножим обе части на $y$:

$y \cdot \left(8 - \frac{1}{y}\right) = y \cdot 7y$

$8y - 1 = 7y^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$7y^2 - 8y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$.
$\sqrt{D} = 6$.

Найдем корни:
$y_1 = \frac{8 - 6}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
$y_2 = \frac{8 + 6}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{7}; 1$.

е) $6 = \frac{5}{z} - z$

ОДЗ: $z \neq 0$. Умножим обе части на $z$:

$6 \cdot z = z \cdot \left(\frac{5}{z} - z\right)$

$6z = 5 - z^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$z^2 + 6z - 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$.
$\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.

Найдем корни:
$z_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$

$z_1 = -3 - \sqrt{14}$
$z_2 = -3 + \sqrt{14}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3 - \sqrt{14}; -3 + \sqrt{14}$.

399 Применяем алгебру

а) Известно, что сумма некоторого числа и числа, ему обратного, равна $2,9$. Найдите это число.

б) Известно, что если из данного числа вычесть число, ему обратное, то получится $0,45$. Найдите данное число.

а)

Пусть искомое число - это $x$. Тогда число, ему обратное, равно $\frac{1}{x}$. Согласно условию задачи, сумма этого числа и ему обратного равна 2,9. Составим уравнение:

$x + \frac{1}{x} = 2,9$

Это уравнение определено для всех $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x \cdot x + x \cdot \frac{1}{x} = 2,9 \cdot x$

$x^2 + 1 = 2,9x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2,9x + 1 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$10x^2 - 29x + 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-29) + \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = 2,5$

$x_2 = \frac{-(-29) - \sqrt{441}}{2 \cdot 10} = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = 0,4$

Оба найденных числа являются решениями, так как они взаимно обратны: $\frac{1}{2,5} = 0,4$. Проверка: $2,5 + 0,4 = 2,9$.

Ответ: 2,5 или 0,4.

б)

Пусть искомое число - это $y$. Тогда число, ему обратное, равно $\frac{1}{y}$. По условию, разность этого числа и ему обратного равна 0,45. Составим уравнение:

$y - \frac{1}{y} = 0,45$

Уравнение имеет смысл при $y \neq 0$. Умножим обе части на $y$:

$y \cdot y - y \cdot \frac{1}{y} = 0,45 \cdot y$

$y^2 - 1 = 0,45y$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 - 0,45y - 1 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, представим 0,45 как $\frac{45}{100}$ или $\frac{9}{20}$ и умножим все уравнение на 20:

$20y^2 - 9y - 20 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-20) = 81 + 1600 = 1681$

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1681}}{2 \cdot 20} = \frac{9 + 41}{40} = \frac{50}{40} = \frac{5}{4} = 1,25$

$y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1681}}{2 \cdot 20} = \frac{9 - 41}{40} = \frac{-32}{40} = -\frac{4}{5} = -0,8$

Проверим оба решения.
Для $y=1,25$: обратное число равно $\frac{1}{1,25} = 0,8$. Разность: $1,25 - 0,8 = 0,45$.
Для $y=-0,8$: обратное число равно $\frac{1}{-0,8} = -1,25$. Разность: $-0,8 - (-1,25) = -0,8 + 1,25 = 0,45$.
Оба корня удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 1,25 или -0,8.

400 Какое из чисел — 1 или 2 — является корнем уравнения

$\frac{(x-1)(x-2)}{3x^3 - 9x^2 + 6} = 0?$

1) 1

2) 2

3) оба этих числа

4) ни одно из них

Чтобы определить, является ли число корнем уравнения, необходимо подставить это число в уравнение вместо переменной $x$. Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы ее числитель был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю.

Дано уравнение: $\frac{(x-1)(x-2)}{3x^3 - 9x^2 + 6} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $3x^3 - 9x^2 + 6 \neq 0$.

Проверим число 1

Подставим $x = 1$ в уравнение.

Сначала проверим числитель: $(1-1)(1-2) = 0 \cdot (-1) = 0$.

Теперь проверим знаменатель: $3(1)^3 - 9(1)^2 + 6 = 3 \cdot 1 - 9 \cdot 1 + 6 = 3 - 9 + 6 = 0$.

Поскольку при $x = 1$ знаменатель обращается в ноль, это значение не входит в ОДЗ. Следовательно, число 1 не является корнем уравнения.

Проверим число 2

Подставим $x = 2$ в уравнение.

Сначала проверим числитель: $(2-1)(2-2) = 1 \cdot 0 = 0$.

Теперь проверим знаменатель: $3(2)^3 - 9(2)^2 + 6 = 3 \cdot 8 - 9 \cdot 4 + 6 = 24 - 36 + 6 = -12 + 6 = -6$.

Поскольку при $x = 2$ числитель равен нулю, а знаменатель ($-6$) не равен нулю, число 2 является корнем уравнения.

Таким образом, из двух чисел только 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2