Номер 397, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 397, страница 166.

397 а) $ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + 1; $

б) $ \frac{z}{z-4} + \frac{6}{z} = 1; $

В) $ \frac{1}{t-6} + 3 = \frac{10}{t}; $

Г) $ \frac{4}{y-2} - \frac{3}{y} = \frac{1}{2}; $

Д) $ \frac{y}{y-1} + \frac{6}{y+1} = 4; $

Е) $ \frac{8}{z-2} - 1 = \frac{8}{z+2}; $

Ж) $ \frac{4}{x} + \frac{7}{2x+3} = 3; $

З) $ \frac{3}{2t-1} = 1 - \frac{4}{2t+1}. $

а) Исходное уравнение: $ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + 1 $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq 0 $ и $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $.

Приведем правую часть к общему знаменателю $ x+1 $:

$ \frac{5}{x} = \frac{8}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} $

$ \frac{5}{x} = \frac{8 + x + 1}{x+1} $

$ \frac{5}{x} = \frac{x+9}{x+1} $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ 5(x+1) = x(x+9) $

$ 5x + 5 = x^2 + 9x $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 + 9x - 5x - 5 = 0 $

$ x^2 + 4x - 5 = 0 $

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $.

$ x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 $

$ x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x_1 = 1, x_2 = -5 $

б) Исходное уравнение: $ \frac{z}{z-4} + \frac{6}{z} = 1 $

ОДЗ: $ z-4 \neq 0 $ и $ z \neq 0 $, то есть $ z \neq 4 $ и $ z \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ z(z-4) $:

$ z \cdot z + 6(z-4) = 1 \cdot z(z-4) $

$ z^2 + 6z - 24 = z^2 - 4z $

Перенесем члены с $ z $ в одну сторону, а числа - в другую:

$ 6z + 4z = 24 $

$ 10z = 24 $

$ z = \frac{24}{10} = 2.4 $

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ z = 2.4 $

в) Исходное уравнение: $ \frac{1}{t-6} + 3 = \frac{10}{t} $

ОДЗ: $ t-6 \neq 0 $ и $ t \neq 0 $, то есть $ t \neq 6 $ и $ t \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ t(t-6) $:

$ 1 \cdot t + 3 \cdot t(t-6) = 10(t-6) $

$ t + 3t^2 - 18t = 10t - 60 $

$ 3t^2 - 17t = 10t - 60 $

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ 3t^2 - 17t - 10t + 60 = 0 $

$ 3t^2 - 27t + 60 = 0 $

Разделим уравнение на 3:

$ t^2 - 9t + 20 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней $ t_1 + t_2 = 9 $, а произведение $ t_1 \cdot t_2 = 20 $. Подбираем корни: $ t_1 = 4 $ и $ t_2 = 5 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ t_1 = 4, t_2 = 5 $

г) Исходное уравнение: $ \frac{4}{y-2} - \frac{3}{y} = \frac{1}{2} $

ОДЗ: $ y-2 \neq 0 $ и $ y \neq 0 $, то есть $ y \neq 2 $ и $ y \neq 0 $.

Умножим обе части на общий знаменатель $ 2y(y-2) $:

$ 4 \cdot 2y - 3 \cdot 2(y-2) = 1 \cdot y(y-2) $

$ 8y - 6y + 12 = y^2 - 2y $

$ 2y + 12 = y^2 - 2y $

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ y^2 - 4y - 12 = 0 $

Решим с помощью дискриминанта: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $.

$ y_1 = \frac{4+8}{2} = 6 $

$ y_2 = \frac{4-8}{2} = -2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ y_1 = 6, y_2 = -2 $

д) Исходное уравнение: $ \frac{y}{y-1} + \frac{6}{y+1} = 4 $

ОДЗ: $ y-1 \neq 0 $ и $ y+1 \neq 0 $, то есть $ y \neq 1 $ и $ y \neq -1 $.

Умножим обе части на общий знаменатель $ (y-1)(y+1) = y^2 - 1 $:

$ y(y+1) + 6(y-1) = 4(y^2-1) $

$ y^2 + y + 6y - 6 = 4y^2 - 4 $

$ y^2 + 7y - 6 = 4y^2 - 4 $

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ 3y^2 - 7y + 2 = 0 $

Решим с помощью дискриминанта: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2 $.

$ y_1 = \frac{7+5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $

$ y_2 = \frac{7-5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ y_1 = 2, y_2 = \frac{1}{3} $

е) Исходное уравнение: $ \frac{8}{z-2} - 1 = \frac{8}{z+2} $

ОДЗ: $ z-2 \neq 0 $ и $ z+2 \neq 0 $, то есть $ z \neq 2 $ и $ z \neq -2 $.

Перегруппируем члены уравнения:

$ \frac{8}{z-2} - \frac{8}{z+2} = 1 $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (z-2)(z+2) = z^2 - 4 $:

$ \frac{8(z+2) - 8(z-2)}{z^2-4} = 1 $

$ \frac{8z + 16 - 8z + 16}{z^2-4} = 1 $

$ \frac{32}{z^2-4} = 1 $

$ 32 = z^2 - 4 $

$ z^2 = 36 $

$ z_1 = 6, z_2 = -6 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ z_1 = 6, z_2 = -6 $

ж) Исходное уравнение: $ \frac{4}{x} + \frac{7}{2x+3} = 3 $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ 2x+3 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1.5 $.

Умножим обе части на общий знаменатель $ x(2x+3) $:

$ 4(2x+3) + 7x = 3x(2x+3) $

$ 8x + 12 + 7x = 6x^2 + 9x $

$ 15x + 12 = 6x^2 + 9x $

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ 6x^2 - 6x - 12 = 0 $

Разделим уравнение на 6:

$ x^2 - x - 2 = 0 $

По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 1, x_1 \cdot x_2 = -2 $. Корни: $ x_1 = 2, x_2 = -1 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x_1 = 2, x_2 = -1 $

з) Исходное уравнение: $ \frac{3}{2t-1} = 1 - \frac{4}{2t+1} $

ОДЗ: $ 2t-1 \neq 0 $ и $ 2t+1 \neq 0 $, то есть $ t \neq 0.5 $ и $ t \neq -0.5 $.

Перенесем дробь в левую часть:

$ \frac{3}{2t-1} + \frac{4}{2t+1} = 1 $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (2t-1)(2t+1) = 4t^2 - 1 $:

$ \frac{3(2t+1) + 4(2t-1)}{4t^2-1} = 1 $

$ \frac{6t+3+8t-4}{4t^2-1} = 1 $

$ \frac{14t-1}{4t^2-1} = 1 $

$ 14t - 1 = 4t^2 - 1 $

$ 4t^2 - 14t = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2t $ за скобки:

$ 2t(2t - 7) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ 2t = 0 \implies t_1 = 0 $

$ 2t - 7 = 0 \implies 2t = 7 \implies t_2 = \frac{7}{2} = 3.5 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ t_1 = 0, t_2 = 3.5 $