Номер 391, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 391, страница 160.

391 Решите уравнение и сделайте проверку:

a) $x - \sqrt{x} - 12 = 0;$

в) $(x - 1) - 2\sqrt{x - 1} - 35 = 0;$

б) $3x + 14\sqrt{x} - 5 = 0;$

г) $(x + 2) + 3\sqrt{x + 2} - 18 = 0.$

Указание. Используйте подстановку: a) $y = \sqrt{x}$, в) $y = \sqrt{x - 1}$.

а) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.
Воспользуемся заменой переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$. Учитывая, что квадратный корень по определению является арифметическим (неотрицательным), должно выполняться условие $y \ge 0$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - y - 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2}$
$y_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4$
$y_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Проверим полученные корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому является посторонним.

Выполним обратную замену для $y = 4$:
$\sqrt{x} = 4$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти x:
$x = 4^2 = 16$

Проверка:
Подставим найденное значение $x=16$ в исходное уравнение:
$16 - \sqrt{16} - 12 = 16 - 4 - 12 = 12 - 12 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 16

---

б) $3x + 14\sqrt{x} - 5 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Подставляем в уравнение:

$3y^2 + 14y - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 16}{6}$
$y_1 = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$y_2 = \frac{-14 - 16}{6} = \frac{-30}{6} = -5$

Проверим корни по условию $y \ge 0$.
$y_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -5$ не удовлетворяет условию, значит, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y = \frac{1}{3}$:
$\sqrt{x} = \frac{1}{3}$
$x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Проверка:
Подставим $x = \frac{1}{9}$ в исходное уравнение:
$3 \cdot (\frac{1}{9}) + 14\sqrt{\frac{1}{9}} - 5 = \frac{3}{9} + 14 \cdot \frac{1}{3} - 5 = \frac{1}{3} + \frac{14}{3} - 5 = \frac{15}{3} - 5 = 5 - 5 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное.

Ответ: $\frac{1}{9}$

---

в) $(x - 1) - 2\sqrt{x - 1} - 35 = 0$

ОДЗ: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
Сделаем замену $y = \sqrt{x - 1}$, где $y \ge 0$. Тогда $x - 1 = y^2$.
Уравнение принимает вид:

$y^2 - 2y - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = 2$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -35$
Методом подбора находим корни: $y_1 = 7$ и $y_2 = -5$.

Проверим корни по условию $y \ge 0$.
$y_1 = 7$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -5$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y = 7$:
$\sqrt{x - 1} = 7$
Возводим обе части в квадрат:
$x - 1 = 49$
$x = 50$

Проверка:
Корень $x=50$ удовлетворяет ОДЗ ($50 \ge 1$).
Подставим его в исходное уравнение:
$(50 - 1) - 2\sqrt{50 - 1} - 35 = 49 - 2\sqrt{49} - 35 = 49 - 2 \cdot 7 - 35 = 49 - 14 - 35 = 35 - 35 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное.

Ответ: 50

---

г) $(x + 2) + 3\sqrt{x + 2} - 18 = 0$

ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.
Сделаем замену $y = \sqrt{x + 2}$, где $y \ge 0$. Тогда $x + 2 = y^2$.
Уравнение принимает вид:

$y^2 + 3y - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -3$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -18$
Методом подбора находим корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -6$.

Проверим корни по условию $y \ge 0$.
$y_1 = 3$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -6$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y = 3$:
$\sqrt{x + 2} = 3$
Возводим обе части в квадрат:
$x + 2 = 9$
$x = 7$

Проверка:
Корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \ge -2$).
Подставим его в исходное уравнение:
$(7 + 2) + 3\sqrt{7 + 2} - 18 = 9 + 3\sqrt{9} - 18 = 9 + 3 \cdot 3 - 18 = 9 + 9 - 18 = 18 - 18 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное.

Ответ: 7