Страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

385 1) Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$;

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$;

б) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$;

г) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$.

Указание. Используйте подстановку $y = x^2$.

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее четыре корня, два корня, не имеющее корней.

1) Решите биквадратное уравнение:

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Для его решения используется замена переменной $y = x^2$. При этом, поскольку $x^2 \ge 0$, мы будем рассматривать только неотрицательные корни $y$.

а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$

Введем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид квадратного уравнения:
$y^2 - 6y + 8 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни $y_1 = 4$ и $y_2 = 2$.
Либо через дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$
$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2}$
$y_1 = \frac{6+2}{2} = 4$
$y_2 = \frac{6-2}{2} = 2$
Оба корня положительные, поэтому оба подходят. Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$
2) $x^2 = 2 \Rightarrow x_{3,4} = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$.

б) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$

Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$. Получаем квадратное уравнение:
$4y^2 + 3y - 1 = 0$
Найдем его корни через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$
$y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 5}{8}$
$y_1 = \frac{-3+5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$y_2 = \frac{-3-5}{8} = \frac{-8}{8} = -1$
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его. Остается один корень $y_1 = \frac{1}{4}$.
Вернемся к замене:
$x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$

Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.
$2y^2 + 9y + 4 = 0$
Найдем корни:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$
$y = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 7}{4}$
$y_1 = \frac{-9+7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-9-7}{4} = \frac{-16}{4} = -4$
Оба корня отрицательные, они не удовлетворяют условию $y \ge 0$. Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$

Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.
$y^2 - 6y + 9 = 0$
Это выражение является полным квадратом:
$(y - 3)^2 = 0$
Отсюда $y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3$
Корень $y = 3$ положительный, поэтому подходит. Вернемся к замене:
$x^2 = 3 \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее четыре корня, два корня, не имеющее корней.

Количество корней биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ зависит от корней $y_1, y_2$ соответствующего квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$.

• Четыре корня: если квадратное уравнение имеет два различных положительных корня ($y_1 > 0, y_2 > 0$).
• Два корня: если квадратное уравнение имеет один положительный корень (второй корень отрицательный или равен нулю, или это единственный корень с $D=0$).
• Нет корней: если квадратное уравнение не имеет положительных корней (оба корня отрицательные, или действительных корней нет).

Уравнение, имеющее четыре корня:
Для этого нужно, чтобы вспомогательное квадратное уравнение имело два различных положительных корня. Например, пусть корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.
Тогда квадратное уравнение имеет вид $(y - 1)(y - 4) = 0$, что равносильно $y^2 - 5y + 4 = 0$.
Произведя обратную замену $y = x^2$, получим биквадратное уравнение:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Его корни: $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$ и $x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$. Всего четыре корня.

Ответ: например, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Уравнение, имеющее два корня:
Для этого нужно, чтобы вспомогательное квадратное уравнение имело один положительный и один отрицательный корень. Например, пусть корни $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.
Тогда квадратное уравнение: $(y - 9)(y + 1) = 0$, или $y^2 - 8y - 9 = 0$.
Биквадратное уравнение:
$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.
Его корни: $x^2 = 9 \Rightarrow x=\pm3$. Уравнение $x^2 = -1$ действительных корней не имеет. Итого два корня.

Ответ: например, $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.

Уравнение, не имеющее корней:
Для этого нужно, чтобы вспомогательное квадратное уравнение имело только отрицательные корни. Например, пусть корни $y_1 = -2$ и $y_2 = -3$.
Тогда квадратное уравнение: $(y + 2)(y + 3) = 0$, или $y^2 + 5y + 6 = 0$.
Биквадратное уравнение:
$x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.
Уравнения $x^2 = -2$ и $x^2 = -3$ не имеют действительных корней.

Ответ: например, $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.

Найдите корни уравнения (386–387).

386 а) $3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0;$

б) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0;$

в) $3 + x - 3x^2 - x^3 = 0;$

г) $5x^3 - x^2 + 20x - 4 = 0;$

д) $x^4 + 5x^3 - 4x^2 - 20x = 0;$

е) $x - x^2 + 2x^3 - 2x^4 = 0.$

а) $3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0$

Для решения уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^3 - x^2) + (-27x + 9) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(3x - 1) - 9(3x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(3x - 1) = 0$

Первый множитель является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 3)(x + 3)(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$

$3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x_3 = \frac{1}{3}$

Ответ: $-3; \frac{1}{3}; 3$.

б) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(2x^3 + x^2) + (6x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x + 1)$ за скобки:

$(x^2 + 3)(2x + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

2) $x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) $3 + x - 3x^2 - x^3 = 0$

Перепишем уравнение, упорядочив члены по убыванию степеней $x$ и умножим на $-1$:

$-x^3 - 3x^2 + x + 3 = 0$

$x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(x^3 + 3x^2) - (x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(x + 3) = 0$

Разложим первый множитель по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Ответ: $-3; -1; 1$.

г) $5x^3 - x^2 + 20x - 4 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(5x^3 - x^2) + (20x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(5x - 1) + 4(5x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x - 1)$ за скобки:

$(x^2 + 4)(5x - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $5x - 1 = 0 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$

2) $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

д) $x^4 + 5x^3 - 4x^2 - 20x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 + 5x^2 - 4x - 20) = 0$

Отсюда следует, что либо $x_1 = 0$, либо $x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0$.

Решим кубическое уравнение $x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0$ методом группировки:

$(x^3 + 5x^2) - (4x + 20) = 0$

$x^2(x + 5) - 4(x + 5) = 0$

$(x^2 - 4)(x + 5) = 0$

$(x - 2)(x + 2)(x + 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти остальные корни:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_4 = -5$

Ответ: $-5; -2; 0; 2$.

е) $x - x^2 + 2x^3 - 2x^4 = 0$

Перепишем уравнение, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:

$-2x^4 + 2x^3 - x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(2x^3 - 2x^2 + x - 1) = 0$

Отсюда следует, что либо $x_1 = 0$, либо $2x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$.

Решим кубическое уравнение $2x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ методом группировки:

$(2x^3 - 2x^2) + (x - 1) = 0$

$2x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$

$(2x^2 + 1)(x - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

2) $2x^2 + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, у уравнения два действительных корня.

Ответ: $0; 1$.

387 а) $5x^4 + 2x^3 - 5x - 2 = 0;$

б) $z^5 - z^3 + z^2 - 1 = 0;$

В) $y^5 - 3y^4 - 8y^2 + 24y = 0;$

Г) $8x^4 + 16x^3 - x - 2 = 0.$

а) $5x^4 + 2x^3 - 5x - 2 = 0$

Для решения данного уравнения применим метод группировки.

Сгруппируем слагаемые: $(5x^4 - 5x) + (2x^3 - 2) = 0$.

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $5x(x^3 - 1) + 2(x^3 - 1) = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $(x^3 - 1)$: $(x^3 - 1)(5x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x_1 = 1$.

2) $5x + 2 = 0 \implies 5x = -2 \implies x_2 = -2/5 = -0.4$.

Заметим, что множитель $x^3 - 1$ можно разложить как разность кубов $(x-1)(x^2+x+1)$. Уравнение $x^2+x+1=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -0.4$.

б) $z^5 - z^3 + z^2 - 1 = 0$

Решим это уравнение методом группировки.

Сгруппируем слагаемые: $(z^5 - z^3) + (z^2 - 1) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $z^3(z^2 - 1) + 1(z^2 - 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(z^2 - 1)$: $(z^2 - 1)(z^3 + 1) = 0$.

Разложим каждый из множителей на более простые, используя формулы разности квадратов и суммы кубов:

$(z - 1)(z + 1)(z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$.

Это можно записать как $(z - 1)(z + 1)^2(z^2 - z + 1) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $z - 1 = 0 \implies z_1 = 1$.

2) $z + 1 = 0 \implies z_2 = -1$.

3) $z^2 - z + 1 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$, поэтому действительных корней оно не имеет.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = -1$.

в) $y^5 - 3y^4 - 8y^2 + 24y = 0$

Сначала вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y(y^4 - 3y^3 - 8y + 24) = 0$.

Это дает нам первый корень $y_1 = 0$.

Теперь решим оставшееся уравнение $y^4 - 3y^3 - 8y + 24 = 0$ методом группировки.

Сгруппируем слагаемые: $(y^4 - 3y^3) - (8y - 24) = 0$.

Вынесем общие множители: $y^3(y - 3) - 8(y - 3) = 0$.

Вынесем общий множитель $(y - 3)$: $(y - 3)(y^3 - 8) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $y - 3 = 0 \implies y_2 = 3$.

2) $y^3 - 8 = 0 \implies y^3 = 8 \implies y_3 = 2$.

Множитель $y^3 - 8$ можно разложить как $(y-2)(y^2+2y+4)$. Уравнение $y^2+2y+4=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$.

Ответ: $y_1 = 0, y_2 = 2, y_3 = 3$.

г) $8x^4 + 16x^3 - x - 2 = 0$

Используем метод группировки для решения этого уравнения.

Сгруппируем слагаемые: $(8x^4 + 16x^3) - (x + 2) = 0$.

Вынесем общие множители: $8x^3(x + 2) - 1(x + 2) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x + 2)$: $(x + 2)(8x^3 - 1) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$.

2) $8x^3 - 1 = 0 \implies 8x^3 = 1 \implies x^3 = 1/8 \implies x_2 = 1/2$.

Множитель $8x^3 - 1$ можно разложить как $(2x-1)(4x^2+2x+1)$. Уравнение $4x^2+2x+1=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1/2$.

388 Составьте какое-нибудь целое уравнение, которое имеет три корня, приведите его к виду $p(x) = 0$, где $p(x)$ — многочлен стандартного вида, и предложите своему соседу по парте решить его.

Составление уравнения

Чтобы составить целое уравнение, которое имеет три корня, необходимо выбрать три произвольных числа, которые будут являться этими корнями. Для простоты выберем целые числа: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ и $x_3 = -3$.

Если многочлен $p(x)$ имеет корни $x_1$, $x_2$ и $x_3$, то уравнение $p(x)=0$ можно записать в виде произведения множителей:
$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$.

Подставим выбранные нами корни в эту формулу:
$(x - 1)(x - 2)(x - (-3)) = 0$
$(x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0$

Теперь необходимо привести полученное уравнение к стандартному виду $p(x) = 0$, где $p(x)$ — многочлен, записанный в канонической форме (по убыванию степеней $x$). Для этого последовательно раскроем скобки.

Сначала перемножим первые два двучлена:
$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.

Затем умножим полученный квадратный трехчлен на оставшийся множитель $(x + 3)$:
$(x^2 - 3x + 2)(x + 3) = x^2(x + 3) - 3x(x + 3) + 2(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 2x + 6$.

Приведем подобные члены:
$x^3 + (3x^2 - 3x^2) + (-9x + 2x) + 6 = x^3 - 7x + 6$.

Таким образом, мы составили целое уравнение с тремя корнями и привели его к стандартному виду.
Ответ: $x^3 - 7x + 6 = 0$.

Решение предложенного уравнения

Теперь решим уравнение $x^3 - 7x + 6 = 0$, которое было предложено "соседу по парте".

Так как это уравнение с целыми коэффициентами, то его рациональные корни (если они существуют) следует искать среди делителей свободного члена (числа 6), деленных на делители старшего коэффициента (числа 1).
Делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Делители числа 1: $\pm 1$.
Следовательно, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение. Начнем с $x=1$:
$1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$.
Так как равенство верное, $x_1 = 1$ — это первый корень уравнения.

Зная один корень, можно понизить степень многочлена, разделив $x^3 - 7x + 6$ на двучлен $(x - 1)$. Это можно сделать, например, делением "уголком".
$(x^3 - 7x + 6) \div (x - 1) = x^2 + x - 6$.

Теперь исходное уравнение можно представить в виде:
$(x - 1)(x^2 + x - 6) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
или
$x^2 + x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать по теореме Виета или через дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = -3$.
Проверка: $2 + (-3) = -1$, $2 \cdot (-3) = -6$.
Через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$.
$x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_3 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Мы нашли все три корня исходного уравнения.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = -3$.

Решите уравнение, введя подходящую замену (389–390).

a) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0;$

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0;$

в) $(1 - x)^4 + (1 - x)^2 = 20;$

г) $(2 - x^2)^4 - 10(2 - x^2)^2 = -9.$

а) В уравнении $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0$ введем замену переменной.
Пусть $y = x^2 + 3x$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 + 2y - 24 = 0$.
Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-24$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -6$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$:
1) $x^2 + 3x = 4$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
2) $x^2 + 3x = -6$
$x^2 + 3x + 6 = 0$
Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Следовательно, решениями исходного уравнения являются только $1$ и $-4$.
Ответ: $-4; 1$.

б) В уравнении $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0$ сделаем замену.
Пусть $y = x^2 + x + 1$. Уравнение преобразуется к виду:
$y^2 + 2y - 3 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, произведение равно $-3$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1) $x^2 + x + 1 = 1$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
2) $x^2 + x + 1 = -3$
$x^2 + x + 4 = 0$
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $-1; 0$.

в) Рассмотрим уравнение $(1 - x)^4 + (1 - x)^2 = 20$. Перепишем его в стандартном виде:
$(1 - x)^4 + (1 - x)^2 - 20 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем замену: пусть $y = (1 - x)^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$y^2 + y - 20 = 0$.
Корни этого уравнения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$.
Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому является посторонним.
Рассмотрим $y_1 = 4$. Сделаем обратную замену:
$(1 - x)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
1) $1 - x = 2 \implies x = -1$.
2) $1 - x = -2 \implies x = 3$.
Исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $-1; 3$.

г) Дано уравнение $(2 - x^2)^4 - 10(2 - x^2)^2 = -9$. Перенесем все члены в левую часть:
$(2 - x^2)^4 - 10(2 - x^2)^2 + 9 = 0$.
Введем замену: пусть $y = (2 - x^2)^2$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 10y + 9 = 0$.
Корни этого уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого значения $y$:
1) Если $y = 1$, то $(2 - x^2)^2 = 1$.
Это распадается на два уравнения:
- $2 - x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
- $2 - x^2 = -1 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$.
2) Если $y = 9$, то $(2 - x^2)^2 = 9$.
Это также распадается на два уравнения:
- $2 - x^2 = 3 \implies x^2 = -1$. Здесь действительных корней нет.
- $2 - x^2 = -3 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5}$.
Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\pm 1; \pm \sqrt{3}; \pm \sqrt{5}$.

390 a) $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 2) = 5;$

б) $(x^2 + x)(x^2 + x - 8) = -12;$

в) $(x^2 - 3x - 3)(x^2 - 3x + 2) = 6;$

г) $(x^2 - x)(x^2 - x - 5) = -6.$

Указание. a) Введите замену $x^2 - 4x = y.$

а) Дано уравнение $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 2) = 5$. Введем замену $y = x^2 - 4x$. Уравнение примет вид $(y + 2)(y - 2) = 5$. По формуле разности квадратов получаем $y^2 - 4 = 5$, откуда $y^2 = 9$. Значит, $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1) Для $y = 3$: $x^2 - 4x = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$. Корни $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.
2) Для $y = -3$: $x^2 - 4x = -3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_3 = 1, x_4 = 3$.
Ответ: $1; 3; 2 - \sqrt{7}; 2 + \sqrt{7}$.

б) Дано уравнение $(x^2 + x)(x^2 + x - 8) = -12$. Введем замену $y = x^2 + x$. Уравнение примет вид $y(y - 8) = -12$, или $y^2 - 8y + 12 = 0$. Корни этого квадратного уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = 6$.
Выполним обратную замену:
1) Для $y = 2$: $x^2 + x = 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = -2$.
2) Для $y = 6$: $x^2 + x = 6 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0$. Корни $x_3 = 2, x_4 = -3$.
Ответ: $-3; -2; 1; 2$.

в) Дано уравнение $(x^2 - 3x - 3)(x^2 - 3x + 2) = 6$. Введем замену $y = x^2 - 3x$. Уравнение примет вид $(y - 3)(y + 2) = 6$. Раскрыв скобки, получим $y^2 - y - 6 = 6$, или $y^2 - y - 12 = 0$. Корни этого квадратного уравнения $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1) Для $y = 4$: $x^2 - 3x = 4 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни $x_1 = 4, x_2 = -1$.
2) Для $y = -3$: $x^2 - 3x = -3 \Rightarrow x^2 - 3x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $-1; 4$.

г) Дано уравнение $(x^2 - x)(x^2 - x - 5) = -6$. Введем замену $y = x^2 - x$. Уравнение примет вид $y(y - 5) = -6$, или $y^2 - 5y + 6 = 0$. Корни этого квадратного уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) Для $y = 2$: $x^2 - x = 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = -1$.
2) Для $y = 3$: $x^2 - x = 3 \Rightarrow x^2 - x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$. Корни $x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Ответ: $-1; 2; \frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

391 Решите уравнение и сделайте проверку:

a) $x - \sqrt{x} - 12 = 0;$

в) $(x - 1) - 2\sqrt{x - 1} - 35 = 0;$

б) $3x + 14\sqrt{x} - 5 = 0;$

г) $(x + 2) + 3\sqrt{x + 2} - 18 = 0.$

Указание. Используйте подстановку: a) $y = \sqrt{x}$, в) $y = \sqrt{x - 1}$.

а) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.
Воспользуемся заменой переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = y^2$. Учитывая, что квадратный корень по определению является арифметическим (неотрицательным), должно выполняться условие $y \ge 0$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - y - 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{2}$
$y_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4$
$y_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3$

Проверим полученные корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому является посторонним.

Выполним обратную замену для $y = 4$:
$\sqrt{x} = 4$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти x:
$x = 4^2 = 16$

Проверка:
Подставим найденное значение $x=16$ в исходное уравнение:
$16 - \sqrt{16} - 12 = 16 - 4 - 12 = 12 - 12 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: 16

б) $3x + 14\sqrt{x} - 5 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену $y = \sqrt{x}$, где $y \ge 0$. Тогда $x = y^2$.
Подставляем в уравнение:

$3y^2 + 14y - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 16}{6}$
$y_1 = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$y_2 = \frac{-14 - 16}{6} = \frac{-30}{6} = -5$

Проверим корни по условию $y \ge 0$.
$y_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -5$ не удовлетворяет условию, значит, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y = \frac{1}{3}$:
$\sqrt{x} = \frac{1}{3}$
$x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Проверка:
Подставим $x = \frac{1}{9}$ в исходное уравнение:
$3 \cdot (\frac{1}{9}) + 14\sqrt{\frac{1}{9}} - 5 = \frac{3}{9} + 14 \cdot \frac{1}{3} - 5 = \frac{1}{3} + \frac{14}{3} - 5 = \frac{15}{3} - 5 = 5 - 5 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное.

Ответ: $\frac{1}{9}$

в) $(x - 1) - 2\sqrt{x - 1} - 35 = 0$

ОДЗ: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
Сделаем замену $y = \sqrt{x - 1}$, где $y \ge 0$. Тогда $x - 1 = y^2$.
Уравнение принимает вид:

$y^2 - 2y - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = 2$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -35$
Методом подбора находим корни: $y_1 = 7$ и $y_2 = -5$.

Проверим корни по условию $y \ge 0$.
$y_1 = 7$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -5$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y = 7$:
$\sqrt{x - 1} = 7$
Возводим обе части в квадрат:
$x - 1 = 49$
$x = 50$

Проверка:
Корень $x=50$ удовлетворяет ОДЗ ($50 \ge 1$).
Подставим его в исходное уравнение:
$(50 - 1) - 2\sqrt{50 - 1} - 35 = 49 - 2\sqrt{49} - 35 = 49 - 2 \cdot 7 - 35 = 49 - 14 - 35 = 35 - 35 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное.

Ответ: 50

г) $(x + 2) + 3\sqrt{x + 2} - 18 = 0$

ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.
Сделаем замену $y = \sqrt{x + 2}$, где $y \ge 0$. Тогда $x + 2 = y^2$.
Уравнение принимает вид:

$y^2 + 3y - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -3$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -18$
Методом подбора находим корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -6$.

Проверим корни по условию $y \ge 0$.
$y_1 = 3$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -6$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y = 3$:
$\sqrt{x + 2} = 3$
Возводим обе части в квадрат:
$x + 2 = 9$
$x = 7$

Проверка:
Корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 \ge -2$).
Подставим его в исходное уравнение:
$(7 + 2) + 3\sqrt{7 + 2} - 18 = 9 + 3\sqrt{9} - 18 = 9 + 3 \cdot 3 - 18 = 9 + 9 - 18 = 18 - 18 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное.

Ответ: 7