Страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

363 На рисунке 3.2 изображены гиперболы — графики функций

$y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{x-1}$, $y = \frac{1}{x+1}$.

Соотнесите каждый график с формулой.

Рис. 3.2

Чтобы соотнести каждый график с соответствующей ему формулой, необходимо проанализировать положение вертикальных асимптот. Вертикальная асимптота графика функции вида $y = \frac{k}{x-a}$ находится там, где знаменатель обращается в ноль, то есть это прямая $x=a$. График функции $y=\frac{k}{x-a}$ получается сдвигом графика функции $y=\frac{k}{x}$ вдоль оси абсцисс на $a$ единиц.

① На этом графике изображена гипербола, у которой вертикальная асимптота — это прямая $x=1$. Это означает, что график базовой функции $y=\frac{1}{x}$ был сдвинут на 1 единицу вправо. Такой сдвиг соответствует функции, у которой знаменатель обращается в ноль при $x=1$. Из предложенных формул этому условию удовлетворяет функция $y = \frac{1}{x-1}$, так как знаменатель $x-1=0$ при $x=1$.
Ответ: $y = \frac{1}{x-1}$

② На этом графике изображена гипербола, вертикальной асимптотой которой является ось ординат ($y$), то есть прямая $x=0$. Это базовый график функции обратной пропорциональности. Знаменатель функции обращается в ноль при $x=0$. Этому условию соответствует формула $y = \frac{1}{x}$.
Ответ: $y = \frac{1}{x}$

③ На этом графике изображена гипербола, у которой вертикальная асимптота — это прямая $x=-1$. Это означает, что график базовой функции $y=\frac{1}{x}$ был сдвинут на 1 единицу влево. Такой сдвиг соответствует функции, у которой знаменатель обращается в ноль при $x=-1$. Из предложенных формул этому условию удовлетворяет функция $y = \frac{1}{x+1}$, так как знаменатель $x+1=0$ при $x=-1$.
Ответ: $y = \frac{1}{x+1}$

364 Для каждой из функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ укажите соответствующий ей график, если:

a) $f(x) = \frac{1}{x^2-1}$, $g(x) = \frac{1}{x^2+1}$ (рис. 3.3);

б) $f(x) = \frac{1}{x^2-2x+2}$, $g(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}$ (рис. 3.4).

Рис. 3.3

Рис. 3.4

а) Проанализируем функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ и сопоставим их с графиками на рис. 3.3.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ область определения — все действительные числа, кроме $x = 1$ и $x = -1$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль. Следовательно, прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами. При $x=0$ значение функции $f(0)=\frac{1}{0^2-1}=-1$. На интервале $(-1, 1)$ функция принимает отрицательные значения, а на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ — положительные. Данные характеристики соответствуют графику 2.

Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ знаменатель $x^2+1$ всегда положителен для любого действительного $x$. Поэтому функция определена на всей числовой оси и не имеет вертикальных асимптот. Функция всегда положительна. Её максимальное значение достигается при $x=0$ (когда знаменатель минимален) и равно $g(0) = \frac{1}{0^2+1}=1$. Данные характеристики соответствуют графику 1.

Таким образом, функции $y=f(x)$ соответствует график 2, а функции $y=g(x)$ — график 1. Ответ: $f(x)$ — график 2, $g(x)$ — график 1.

б) Проанализируем функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ и сопоставим их с графиками на рис. 3.4.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат: $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$, знаменатель всегда положителен (его минимальное значение равно 1). Следовательно, функция определена для всех $x$, не имеет вертикальных асимптот и всегда положительна. Максимум функции достигается при $x=1$ и равен $f(1) = \frac{1}{(1-1)^2+1}=1$. Эти характеристики соответствуют графику 1.

Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ знаменатель можно представить в виде полного квадрата $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Знаменатель обращается в ноль при $x=1$, поэтому прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой. Поскольку знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен (при $x \neq 1$), функция $g(x)$ также всегда положительна, и её ветви уходят в $+\infty$ по обе стороны от асимптоты. Эти характеристики соответствуют графику 2.

Таким образом, функции $y=f(x)$ соответствует график 1, а функции $y=g(x)$ — график 2. Ответ: $f(x)$ — график 1, $g(x)$ — график 2.