Страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

342 Найдите значение выражения при указанных значениях переменной (в том случае, если оно имеет смысл):

а) $ \frac{x^2}{2} - \frac{x}{3} $ при $ x = -1; 0; 1; $

в) $ \frac{3x - 1}{x} $ при $ x = -1; 0; 2; $

б) $ \frac{2x^3 + x}{2} $ при $ x = -2; 0; 1; $

г) $ (x - 2)^{-2} $ при $ x = -5; 0; 2. $

а) Вычислим значение выражения $\frac{x^2}{2} - \frac{x}{3}$ для каждого из указанных значений переменной.

При $x = -1$:
$\frac{(-1)^2}{2} - \frac{-1}{3} = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

При $x = 0$:
$\frac{0^2}{2} - \frac{0}{3} = 0 - 0 = 0$

При $x = 1$:
$\frac{1^2}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: при $x = -1$ значение равно $\frac{5}{6}$; при $x = 0$ значение равно $0$; при $x = 1$ значение равно $\frac{1}{6}$.

б) Вычислим значение выражения $\frac{2x^3 + x}{2}$ для каждого из указанных значений переменной.

При $x = -2$:
$\frac{2(-2)^3 + (-2)}{2} = \frac{2 \cdot (-8) - 2}{2} = \frac{-16 - 2}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

При $x = 0$:
$\frac{2(0)^3 + 0}{2} = \frac{0}{2} = 0$

При $x = 1$:
$\frac{2(1)^3 + 1}{2} = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: при $x = -2$ значение равно $-9$; при $x = 0$ значение равно $0$; при $x = 1$ значение равно $1,5$.

в) Вычислим значение выражения $\frac{3x - 1}{x}$ для каждого из указанных значений переменной.

При $x = -1$:
$\frac{3(-1) - 1}{-1} = \frac{-3 - 1}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$

При $x = 0$:
Подставляя $x=0$, получаем в знаменателе ноль: $\frac{3(0) - 1}{0} = \frac{-1}{0}$. Деление на ноль невозможно, поэтому при $x = 0$ выражение не имеет смысла.

При $x = 2$:
$\frac{3(2) - 1}{2} = \frac{6 - 1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: при $x = -1$ значение равно $4$; при $x = 0$ выражение не имеет смысла; при $x = 2$ значение равно $2,5$.

г) Вычислим значение выражения $(x - 2)^{-2}$ для каждого из указанных значений переменной. Данное выражение можно представить в виде дроби $\frac{1}{(x-2)^2}$.

При $x = -5$:
$(-5 - 2)^{-2} = (-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2} = \frac{1}{49}$

При $x = 0$:
$(0 - 2)^{-2} = (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

При $x = 2$:
Подставляя $x=2$, получаем: $(2 - 2)^{-2} = 0^{-2} = \frac{1}{0^2}$. Знаменатель обращается в ноль, а деление на ноль невозможно. Следовательно, при $x = 2$ выражение не имеет смысла.

Ответ: при $x = -5$ значение равно $\frac{1}{49}$; при $x = 0$ значение равно $\frac{1}{4}$; при $x = 2$ выражение не имеет смысла.

343 Найдите значение выражения при заданных значениях переменных (в том случае, если оно имеет смысл):

а) $\frac{x+y}{xy}$ при $x = 5$ и $y = -5$; при $x = 0$ и $y = 3$;

б) $\frac{a(a-1)}{b(b-1)}$ при $a = -1$ и $b = 2$; при $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{4}$;

в) $\frac{xyz-1}{x+y+z}$ при $x = 0, y = -1, z = -2$; при $x = y = z = \frac{1}{3}$;

г) $\frac{abc}{(a-b)(b-c)}$ при $a = b = 1, c = -1$; при $a = c = 1, b = -1$.

а) Рассмотрим выражение $\frac{x+y}{xy}$.
При $x = 5$ и $y = -5$:
$\frac{x+y}{xy} = \frac{5+(-5)}{5 \cdot (-5)} = \frac{0}{-25} = 0$.
При $x = 0$ и $y = 3$:
Знаменатель выражения $xy = 0 \cdot 3 = 0$. Так как деление на ноль недопустимо, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: $0$; при $x=0, y=3$ выражение не имеет смысла.

б) Рассмотрим выражение $\frac{a(a-1)}{b(b-1)}$.
При $a = -1$ и $b = 2$:
$\frac{a(a-1)}{b(b-1)} = \frac{-1(-1-1)}{2(2-1)} = \frac{-1(-2)}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$.
При $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{4}$:
$\frac{a(a-1)}{b(b-1)} = \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{\frac{1}{4}(\frac{1}{4}-1)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})}{\frac{1}{4} \cdot (-\frac{3}{4})} = \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{3}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $1$; $\frac{4}{3}$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{xyz-1}{x+y+z}$.
При $x = 0, y = -1, z = -2$:
$\frac{xyz-1}{x+y+z} = \frac{0 \cdot (-1) \cdot (-2) - 1}{0 + (-1) + (-2)} = \frac{0-1}{-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.
При $x = y = z = \frac{1}{3}$:
$\frac{xyz-1}{x+y+z} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{27} - 1}{1} = \frac{1-27}{27} = -\frac{26}{27}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$; $-\frac{26}{27}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{abc}{(a-b)(b-c)}$.
При $a = b = 1, c = -1$:
Знаменатель выражения $(a-b)(b-c) = (1-1)(1-(-1)) = 0 \cdot 2 = 0$. Так как деление на ноль недопустимо, данное выражение не имеет смысла.
При $a = c = 1, b = -1$:
$\frac{abc}{(a-b)(b-c)} = \frac{1 \cdot (-1) \cdot 1}{(1-(-1))(-1-1)} = \frac{-1}{(1+1)(-2)} = \frac{-1}{2 \cdot (-2)} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: при $a=b=1, c=-1$ выражение не имеет смысла; $\frac{1}{4}$.