Номер 364, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 364, страница 153.

364 Для каждой из функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ укажите соответствующий ей график, если:

a) $f(x) = \frac{1}{x^2-1}$, $g(x) = \frac{1}{x^2+1}$ (рис. 3.3);

б) $f(x) = \frac{1}{x^2-2x+2}$, $g(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}$ (рис. 3.4).

Рис. 3.3

Рис. 3.4

а) Проанализируем функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ и сопоставим их с графиками на рис. 3.3.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$ область определения — все действительные числа, кроме $x = 1$ и $x = -1$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль. Следовательно, прямые $x=1$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами. При $x=0$ значение функции $f(0)=\frac{1}{0^2-1}=-1$. На интервале $(-1, 1)$ функция принимает отрицательные значения, а на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$ — положительные. Данные характеристики соответствуют графику 2.

Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ знаменатель $x^2+1$ всегда положителен для любого действительного $x$. Поэтому функция определена на всей числовой оси и не имеет вертикальных асимптот. Функция всегда положительна. Её максимальное значение достигается при $x=0$ (когда знаменатель минимален) и равно $g(0) = \frac{1}{0^2+1}=1$. Данные характеристики соответствуют графику 1.

Таким образом, функции $y=f(x)$ соответствует график 2, а функции $y=g(x)$ — график 1. Ответ: $f(x)$ — график 2, $g(x)$ — график 1.

б) Проанализируем функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ и сопоставим их с графиками на рис. 3.4.

Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$ преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат: $x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$, знаменатель всегда положителен (его минимальное значение равно 1). Следовательно, функция определена для всех $x$, не имеет вертикальных асимптот и всегда положительна. Максимум функции достигается при $x=1$ и равен $f(1) = \frac{1}{(1-1)^2+1}=1$. Эти характеристики соответствуют графику 1.

Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ знаменатель можно представить в виде полного квадрата $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Знаменатель обращается в ноль при $x=1$, поэтому прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой. Поскольку знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен (при $x \neq 1$), функция $g(x)$ также всегда положительна, и её ветви уходят в $+\infty$ по обе стороны от асимптоты. Эти характеристики соответствуют графику 2.

Таким образом, функции $y=f(x)$ соответствует график 1, а функции $y=g(x)$ — график 2. Ответ: $f(x)$ — график 1, $g(x)$ — график 2.