Номер 366, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 366, страница 154.

366 а) $\frac{1-3x}{9x^2+12x-5}$;

б) $\frac{2x^2+5x}{15+x-2x^2}$;

в) $\frac{5a^2-10a+2b-ab}{2+3a-2a^2}$;

г) $\frac{y-x-3y^2+3xy}{3y^2+8y-3}$;

д) $\frac{8-x^3}{3x^2-8x+4}$;

е) $\frac{x^3+27}{6-13x-5x^2}$.

а) $\frac{1 - 3x}{9x^2 + 12x - 5}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель: $1 - 3x = -(3x - 1)$.

Разложим знаменатель $9x^2 + 12x - 5$. Для этого решим квадратное уравнение $9x^2 + 12x - 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 144 + 180 = 324$.
Найдем корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 18}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 18}{18} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$.
Таким образом, разложение знаменателя на множители: $9(x - \frac{1}{3})(x + \frac{5}{3}) = (3x - 1)(3x + 5)$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{-(3x - 1)}{(3x - 1)(3x + 5)}$

Сократим общий множитель $(3x - 1)$: $\frac{-1}{3x + 5}$.

Ответ: $-\frac{1}{3x + 5}$.

б) $\frac{2x^2 + 5x}{15 + x - 2x^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2x^2 + 5x = x(2x + 5)$.

Знаменатель: $15 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 15)$. Решим уравнение $2x^2 - x - 15 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$.
$x_1 = \frac{1 + 11}{4} = 3$; $x_2 = \frac{1 - 11}{4} = -\frac{5}{2}$.
Разложение $2x^2 - x - 15$ имеет вид $2(x - 3)(x + \frac{5}{2}) = (x - 3)(2x + 5)$.
Следовательно, знаменатель $15 + x - 2x^2 = -(x-3)(2x+5) = (3-x)(2x+5)$.

Подставим в дробь:
$\frac{x(2x + 5)}{(3 - x)(2x + 5)}$

Сократим общий множитель $(2x + 5)$: $\frac{x}{3 - x}$.

Ответ: $\frac{x}{3 - x}$.

в) $\frac{5a^2 - 10a + 2b - ab}{2 + 3a - 2a^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $5a^2 - 10a + 2b - ab$. Сгруппируем слагаемые: $(5a^2 - 10a) - (ab - 2b) = 5a(a - 2) - b(a - 2) = (a - 2)(5a - b)$.

Знаменатель: $2 + 3a - 2a^2 = -(2a^2 - 3a - 2)$. Решим уравнение $2a^2 - 3a - 2 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$a_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$; $a_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$.
Разложение $2a^2 - 3a - 2$ имеет вид $2(a - 2)(a + \frac{1}{2}) = (a - 2)(2a + 1)$.
Следовательно, знаменатель $2 + 3a - 2a^2 = -(a - 2)(2a + 1) = (2 - a)(2a + 1)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(a - 2)(5a - b)}{(2 - a)(2a + 1)} = \frac{-(2 - a)(5a - b)}{(2 - a)(2a + 1)}$

Сократим $(2 - a)$: $\frac{-(5a - b)}{2a + 1} = \frac{b - 5a}{2a + 1}$.

Ответ: $\frac{b - 5a}{2a + 1}$.

г) $\frac{y - x - 3y^2 + 3xy}{3y^2 + 8y - 3}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $y - x - 3y^2 + 3xy$. Сгруппируем: $(y - x) + (3xy - 3y^2) = (y - x) + 3y(x - y) = (y - x) - 3y(y - x) = (y - x)(1 - 3y)$.

Знаменатель: $3y^2 + 8y - 3$. Решим уравнение $3y^2 + 8y - 3 = 0$.
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$y_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{1}{3}$; $y_2 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$.
Разложение знаменателя: $3(y - \frac{1}{3})(y + 3) = (3y - 1)(y + 3)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(y - x)(1 - 3y)}{(3y - 1)(y + 3)} = \frac{(y - x) \cdot (-(3y - 1))}{(3y - 1)(y + 3)}$

Сократим $(3y - 1)$: $\frac{-(y - x)}{y + 3} = \frac{x - y}{y + 3}$.

Ответ: $\frac{x - y}{y + 3}$.

д) $\frac{8 - x^3}{3x^2 - 8x + 4}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $8 - x^3 = 2^3 - x^3$. По формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ получаем: $(2 - x)(4 + 2x + x^2)$.

Знаменатель: $3x^2 - 8x + 4$. Решим уравнение $3x^2 - 8x + 4 = 0$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.
$x_1 = \frac{8 + 4}{6} = 2$; $x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{2}{3}$.
Разложение знаменателя: $3(x - 2)(x - \frac{2}{3}) = (x - 2)(3x - 2)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(2 - x)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(3x - 2)} = \frac{-(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(3x - 2)}$

Сократим $(x - 2)$: $\frac{-(x^2 + 2x + 4)}{3x - 2}$.

Ответ: $-\frac{x^2 + 2x + 4}{3x - 2}$.

е) $\frac{x^3 + 27}{6 - 13x - 5x^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$. По формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ получаем: $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Знаменатель: $6 - 13x - 5x^2 = -(5x^2 + 13x - 6)$. Решим уравнение $5x^2 + 13x - 6 = 0$.
$D = 13^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289$.
$x_1 = \frac{-13 + 17}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$; $x_2 = \frac{-13 - 17}{10} = -3$.
Разложение $5x^2 + 13x - 6$ имеет вид $5(x - \frac{2}{5})(x + 3) = (5x - 2)(x + 3)$.
Следовательно, знаменатель $6 - 13x - 5x^2 = -(5x - 2)(x + 3) = (2 - 5x)(x + 3)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{(2 - 5x)(x + 3)}$

Сократим общий множитель $(x + 3)$: $\frac{x^2 - 3x + 9}{2 - 5x}$.

Ответ: $\frac{x^2 - 3x + 9}{2 - 5x}$.