Номер 373, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 373, страница 155.

373 Докажите тождество:

a) $\frac{(x^2 + x - 1)^2 - (x^2 + x - 4)^2}{(x^2 + x - 2)^2 - (x^2 + x - 3)^2} = 3.$

Указание. Используйте подстановку $y = x^2 + x$.

б) $(x - \frac{1}{x})(4x - \frac{4}{x})(9x - \frac{9}{x}) - (2x - \frac{2}{x})(3x - \frac{3}{x})(6x - \frac{6}{x})=0.$

Указание. Используйте подстановку $y = x - \frac{1}{x}$.

а)

Для доказательства тождества $ \frac{(x^2 + x - 1)^2 - (x^2 + x - 4)^2}{(x^2 + x - 2)^2 - (x^2 + x - 3)^2} = 3 $ воспользуемся указанной в условии подстановкой $ y = x^2 + x $.

После подстановки левая часть уравнения принимает вид:

$ \frac{(y - 1)^2 - (y - 4)^2}{(y - 2)^2 - (y - 3)^2} $

Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ к числителю и знаменателю дроби.

Преобразуем числитель, где $ a = y - 1 $ и $ b = y - 4 $:

$ (y - 1)^2 - (y - 4)^2 = ((y - 1) - (y - 4))((y - 1) + (y - 4)) = (y - 1 - y + 4)(y - 1 + y - 4) = 3(2y - 5) $.

Преобразуем знаменатель, где $ a = y - 2 $ и $ b = y - 3 $:

$ (y - 2)^2 - (y - 3)^2 = ((y - 2) - (y - 3))((y - 2) + (y - 3)) = (y - 2 - y + 3)(y - 2 + y - 3) = 1(2y - 5) = 2y - 5 $.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{3(2y - 5)}{2y - 5} $

При условии, что знаменатель не равен нулю ($ 2y - 5 \neq 0 $), мы можем сократить дробь на общий множитель $ (2y - 5) $:

$ \frac{3(2y - 5)}{2y - 5} = 3 $

Левая часть тождества равна 3, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано для всех допустимых значений $ x $.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества $ (x - \frac{1}{x})(4x - \frac{4}{x})(9x - \frac{9}{x}) - (2x - \frac{2}{x})(3x - \frac{3}{x})(6x - \frac{6}{x}) = 0 $ преобразуем левую часть, вынеся общие множители из каждой скобки.

Рассмотрим первое произведение:

$ (x - \frac{1}{x})(4x - \frac{4}{x})(9x - \frac{9}{x}) = (x - \frac{1}{x}) \cdot 4(x - \frac{1}{x}) \cdot 9(x - \frac{1}{x}) = (1 \cdot 4 \cdot 9) \cdot (x - \frac{1}{x})^3 = 36(x - \frac{1}{x})^3 $.

Рассмотрим второе произведение:

$ (2x - \frac{2}{x})(3x - \frac{3}{x})(6x - \frac{6}{x}) = 2(x - \frac{1}{x}) \cdot 3(x - \frac{1}{x}) \cdot 6(x - \frac{1}{x}) = (2 \cdot 3 \cdot 6) \cdot (x - \frac{1}{x})^3 = 36(x - \frac{1}{x})^3 $.

Теперь левая часть уравнения имеет вид разности двух одинаковых выражений:

$ 36(x - \frac{1}{x})^3 - 36(x - \frac{1}{x})^3 $

Как и указано в условии, можно использовать подстановку $ y = x - \frac{1}{x} $. Тогда выражение примет вид:

$ 36y^3 - 36y^3 = 0 $.

Левая часть тождества равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано для всех $ x \neq 0 $.

Ответ: Тождество доказано.