Номер 377, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 377, страница 155.

377 а) $y = (\sqrt{x})^2$;

б) $y = \sqrt{x^2}$;

В) $y = (\sqrt{x-1})^2$

а) $y = (\sqrt{x})^2$

Для данной функции необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

На этой области определения, по определению арифметического квадратного корня, $(\sqrt{x})^2 = x$.

Таким образом, функция $y = (\sqrt{x})^2$ тождественно равна функции $y=x$ при условии $x \ge 0$. Ее график — это луч, выходящий из начала координат под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

Ответ: $y = x$ при $x \ge 0$.

б) $y = \sqrt{x^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного значения $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

По свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашей функции, получаем:

$y = \sqrt{x^2} = |x|$

Функция $y = |x|$ (модуль $x$) эквивалентна системе:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат: биссектрисы первого и второго координатных углов.

Ответ: $y = |x|$.

в) $y = (\sqrt{x-1})^2$

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$.

Для всех $x$ из области определения ($x \ge 1$) справедливо равенство $(\sqrt{x-1})^2 = x-1$.

Таким образом, функция $y = (\sqrt{x-1})^2$ эквивалентна функции $y = x-1$ при условии $x \ge 1$. Графиком является луч, начинающийся в точке $(1, 0)$ и идущий вправо-вверх параллельно прямой $y=x$.

Ответ: $y = x-1$ при $x \ge 1$.