Номер 376, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 376, страница 155.

Постройте график функции (376—377).

376 а) $y=\frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

б) $y=\frac{x - 1}{x^2 - x}$;

В) $y=\frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$;

Г) $y=\frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$.

а) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$
1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.
2. Упростим выражение для функции. Числитель представляет собой разность квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$
При условии $x \neq -2$ мы можем сократить дробь на $(x+2)$:
$y = x - 2$.
3. Графиком функции $y = x - 2$ является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, -2)$ и $(2, 0)$.
4. Так как исходная функция не определена в точке $x = -2$, на графике в этой точке будет "выколотая" точка (разрыв). Найдем координаты этой точки:
$y = -2 - 2 = -4$.
Таким образом, точка с координатами $(-2, -4)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2, -4)$.

б) $y = \frac{x - 1}{x^2 - x}$
1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - x \neq 0$.
$x(x - 1) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
2. Упростим функцию, вынеся в знаменателе общий множитель $x$ за скобки:
$y = \frac{x - 1}{x(x - 1)}$
При условии $x \neq 1$ мы можем сократить дробь на $(x-1)$:
$y = \frac{1}{x}$.
3. Графиком функции $y = \frac{1}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты гиперболы — оси координат ($x=0$ и $y=0$).
4. Исходная функция не определена в точках $x = 0$ и $x = 1$. Упрощенная функция $y = \frac{1}{x}$ также не определена при $x=0$ (это ее вертикальная асимптота). Точка $x=1$ является точкой разрыва. Найдем ее координаты:
$y = \frac{1}{1} = 1$.
Точка с координатами $(1, 1)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

в) $y = \frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$
1. Найдем область определения. Знаменатель не равен нулю: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
2. Упростим функцию. Для этого разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$.
$y = \frac{(x - 5)(x + 1)}{x + 1}$
При условии $x \neq -1$ сокращаем дробь:
$y = x - 5$.
3. Графиком функции $y = x - 5$ является прямая. Для построения можно взять точки $(0, -5)$ и $(5, 0)$.
4. Исходная функция не определена в точке $x = -1$. Найдем координаты выколотой точки на графике:
$y = -1 - 5 = -6$.
Точка с координатами $(-1, -6)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(-1, -6)$.

г) $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$
1. Найдем область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$.
$(x - 1)(x + 1) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. Упростим функцию. Числитель $x^4 - 1$ можно разложить как разность квадратов: $(x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.
$y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1}$
При условии $x \neq \pm 1$ сокращаем дробь:
$y = x^2 + 1$.
3. Графиком функции $y = x^2 + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.
4. Исходная функция не определена в точках $x = 1$ и $x = -1$. Найдем координаты выколотых точек на параболе:
При $x = 1$: $y = 1^2 + 1 = 2$. Выколотая точка $(1, 2)$.
При $x = -1$: $y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Выколотая точка $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 1$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.