Номер 378, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 378, страница 159.

378 a) $\frac{x}{6} + \frac{x}{18} = \frac{10}{9}$;

б) $\frac{y}{7} + 1 = \frac{y}{14}$;

В) $\frac{z+3}{8} - z = 3$;

Г) $\frac{y-5}{3} = \frac{y}{5} + 1$;

Д) $\frac{u-2}{2} = \frac{u-6}{6}$;

е) $\frac{t+2}{2} = \frac{5+2t}{3}$.

а) $\frac{x}{6} + \frac{x}{18} = \frac{10}{9}$
Чтобы решить это уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 6, 18 и 9 равно 18. Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от дробей:
$18 \cdot \left(\frac{x}{6} + \frac{x}{18}\right) = 18 \cdot \frac{10}{9}$
$\frac{18x}{6} + \frac{18x}{18} = \frac{18 \cdot 10}{9}$
Выполняем сокращения:
$3x + x = 2 \cdot 10$
Складываем слагаемые с переменной $x$ в левой части и вычисляем правую часть:
$4x = 20$
Делим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Ответ: $x=5$

б) $\frac{y}{7} + 1 = \frac{y}{14}$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну часть уравнения, а числа — в другую. Перенесем $\frac{y}{14}$ влево, а 1 — вправо, меняя их знаки:
$\frac{y}{7} - \frac{y}{14} = -1$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 14. Дополнительный множитель для первой дроби — 2.
$\frac{2y}{14} - \frac{y}{14} = -1$
$\frac{2y - y}{14} = -1$
$\frac{y}{14} = -1$
Умножим обе части уравнения на 14:
$y = -1 \cdot 14$
$y = -14$
Ответ: $y=-14$

в) $\frac{z+3}{8} - z = 3$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на 8:
$8 \cdot \left(\frac{z+3}{8} - z\right) = 8 \cdot 3$
$8 \cdot \frac{z+3}{8} - 8 \cdot z = 24$
$(z+3) - 8z = 24$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$z + 3 - 8z = 24$
$-7z + 3 = 24$
Переносим 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-7z = 24 - 3$
$-7z = 21$
Делим обе части на -7:
$z = \frac{21}{-7}$
$z = -3$
Ответ: $z=-3$

г) $\frac{y-5}{3} = \frac{y}{5} + 1$
Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 — это 15. Умножим обе части уравнения на 15:
$15 \cdot \frac{y-5}{3} = 15 \cdot \left(\frac{y}{5} + 1\right)$
$15 \cdot \frac{y-5}{3} = 15 \cdot \frac{y}{5} + 15 \cdot 1$
Сокращаем дроби:
$5(y-5) = 3y + 15$
Раскрываем скобки:
$5y - 25 = 3y + 15$
Переносим слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$5y - 3y = 15 + 25$
$2y = 40$
Находим $y$:
$y = \frac{40}{2}$
$y = 20$
Ответ: $y=20$

д) $\frac{u-2}{2} = \frac{u-6}{6}$
Это пропорция. Мы можем использовать основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) или умножить обе части на наименьший общий знаменатель, который равен 6.
Умножим на 6:
$6 \cdot \frac{u-2}{2} = 6 \cdot \frac{u-6}{6}$
$3(u-2) = 1(u-6)$
Раскрываем скобки:
$3u - 6 = u - 6$
Переносим слагаемые с $u$ влево, а числа вправо:
$3u - u = -6 + 6$
$2u = 0$
$u = 0$
Ответ: $u=0$

е) $\frac{t+2}{2} = \frac{5+2t}{3}$
Это также пропорция. Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3(t+2) = 2(5+2t)$
Раскрываем скобки в обеих частях уравнения:
$3t + 6 = 10 + 4t$
Перенесем слагаемые с переменной $t$ в одну сторону (например, вправо), а числовые слагаемые — в другую (влево):
$6 - 10 = 4t - 3t$
Выполняем вычисления:
$-4 = t$
Ответ: $t=-4$