Номер 379, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 379, страница 159.

379 a) $ \frac{x^2 - x}{2} - \frac{x+1}{3} = 1; $

б) $ \frac{t+8}{8} - t = \frac{1-t^2}{4}; $

В) $ \frac{y^2}{5} = \frac{11}{2} + \frac{y}{10}; $

Г) $ \frac{5}{6} - \frac{z^2}{3} = \frac{2z+3}{2}. $

а) Дано уравнение $\frac{x^2 - x}{2} - \frac{x + 1}{3} = 1$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6: $6 \cdot \frac{x^2 - x}{2} - 6 \cdot \frac{x + 1}{3} = 6 \cdot 1$
$3(x^2 - x) - 2(x + 1) = 6$
Раскроем скобки: $3x^2 - 3x - 2x - 2 = 6$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $3x^2 - 5x - 2 - 6 = 0$
$3x^2 - 5x - 8 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$. $x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$
$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Ответ: $x_1 = \frac{8}{3}, x_2 = -1$.

б) Дано уравнение $\frac{t + 8}{8} - t = \frac{1 - t^2}{4}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 8: $8 \cdot (\frac{t + 8}{8} - t) = 8 \cdot \frac{1 - t^2}{4}$
$t + 8 - 8t = 2(1 - t^2)$
Упростим левую часть и раскроем скобки в правой: $-7t + 8 = 2 - 2t^2$
Перенесем все члены в левую часть: $2t^2 - 7t + 8 - 2 = 0$
$2t^2 - 7t + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$. Найдем корни: $t_{1} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$t_{2} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Ответ: $t_1 = 2, t_2 = \frac{3}{2}$.

в) Дано уравнение $\frac{y^2}{5} = \frac{11}{2} + \frac{y}{10}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 10: $10 \cdot \frac{y^2}{5} = 10 \cdot \frac{11}{2} + 10 \cdot \frac{y}{10}$
$2y^2 = 55 + y$
Перенесем все члены в левую часть: $2y^2 - y - 55 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-55) = 1 + 440 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$. Найдем корни: $y_{1} = \frac{1 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5.5$
$y_{2} = \frac{1 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$
Ответ: $y_1 = 5.5, y_2 = -5$.

г) Дано уравнение $\frac{5}{6} - \frac{z^2}{3} = \frac{2z + 3}{2}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 6: $6 \cdot (\frac{5}{6} - \frac{z^2}{3}) = 6 \cdot \frac{2z + 3}{2}$
$5 - 2z^2 = 3(2z + 3)$
Раскроем скобки: $5 - 2z^2 = 6z + 9$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $z^2$ был положительным: $0 = 2z^2 + 6z + 9 - 5$
$2z^2 + 6z + 4 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $z^2 + 3z + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни: $z_1 = -1$ и $z_2 = -2$. Проверим: $(-1) + (-2) = -3$ и $(-1) \cdot (-2) = 2$. Можно также решить через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$
$z_{1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$z_{2} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $z_1 = -1, z_2 = -2$.