Номер 385, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 385, страница 160.

385 1) Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$;

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$;

б) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$;

г) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$.

Указание. Используйте подстановку $y = x^2$.

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее четыре корня, два корня, не имеющее корней.

1) Решите биквадратное уравнение:

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Для его решения используется замена переменной $y = x^2$. При этом, поскольку $x^2 \ge 0$, мы будем рассматривать только неотрицательные корни $y$.

а) $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$

Введем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид квадратного уравнения:
$y^2 - 6y + 8 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни $y_1 = 4$ и $y_2 = 2$.
Либо через дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$
$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2}$
$y_1 = \frac{6+2}{2} = 4$
$y_2 = \frac{6-2}{2} = 2$
Оба корня положительные, поэтому оба подходят. Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$
2) $x^2 = 2 \Rightarrow x_{3,4} = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \sqrt{2}, x_4 = -\sqrt{2}$.

б) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$

Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$. Получаем квадратное уравнение:
$4y^2 + 3y - 1 = 0$
Найдем его корни через дискриминант:
$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$
$y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 \pm 5}{8}$
$y_1 = \frac{-3+5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$y_2 = \frac{-3-5}{8} = \frac{-8}{8} = -1$
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его. Остается один корень $y_1 = \frac{1}{4}$.
Вернемся к замене:
$x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$

Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.
$2y^2 + 9y + 4 = 0$
Найдем корни:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$
$y = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 7}{4}$
$y_1 = \frac{-9+7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-9-7}{4} = \frac{-16}{4} = -4$
Оба корня отрицательные, они не удовлетворяют условию $y \ge 0$. Следовательно, у исходного уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

г) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$

Пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$.
$y^2 - 6y + 9 = 0$
Это выражение является полным квадратом:
$(y - 3)^2 = 0$
Отсюда $y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3$
Корень $y = 3$ положительный, поэтому подходит. Вернемся к замене:
$x^2 = 3 \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$.

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее четыре корня, два корня, не имеющее корней.

Количество корней биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ зависит от корней $y_1, y_2$ соответствующего квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$.

• Четыре корня: если квадратное уравнение имеет два различных положительных корня ($y_1 > 0, y_2 > 0$).
• Два корня: если квадратное уравнение имеет один положительный корень (второй корень отрицательный или равен нулю, или это единственный корень с $D=0$).
• Нет корней: если квадратное уравнение не имеет положительных корней (оба корня отрицательные, или действительных корней нет).

Уравнение, имеющее четыре корня:
Для этого нужно, чтобы вспомогательное квадратное уравнение имело два различных положительных корня. Например, пусть корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.
Тогда квадратное уравнение имеет вид $(y - 1)(y - 4) = 0$, что равносильно $y^2 - 5y + 4 = 0$.
Произведя обратную замену $y = x^2$, получим биквадратное уравнение:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Его корни: $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$ и $x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$. Всего четыре корня.

Ответ: например, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Уравнение, имеющее два корня:
Для этого нужно, чтобы вспомогательное квадратное уравнение имело один положительный и один отрицательный корень. Например, пусть корни $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.
Тогда квадратное уравнение: $(y - 9)(y + 1) = 0$, или $y^2 - 8y - 9 = 0$.
Биквадратное уравнение:
$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.
Его корни: $x^2 = 9 \Rightarrow x=\pm3$. Уравнение $x^2 = -1$ действительных корней не имеет. Итого два корня.

Ответ: например, $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$.

Уравнение, не имеющее корней:
Для этого нужно, чтобы вспомогательное квадратное уравнение имело только отрицательные корни. Например, пусть корни $y_1 = -2$ и $y_2 = -3$.
Тогда квадратное уравнение: $(y + 2)(y + 3) = 0$, или $y^2 + 5y + 6 = 0$.
Биквадратное уравнение:
$x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.
Уравнения $x^2 = -2$ и $x^2 = -3$ не имеют действительных корней.

Ответ: например, $x^4 + 5x^2 + 6 = 0$.