Номер 382, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 382, страница 159.

382 1) Убедитесь, что уравнения

$5x(x + 1)(x - 2) = 0,$

$x^2(x + 1)(2 - x) = 0,$

$x(x + 1)^2(x - 2) = 0,$

$x(x + 1)(2 - x)(x^2 + 1) = 0$

имеют одни и те же корни.

2) Составьте несколько уравнений, корнями которых являются числа:

а) 0; -3; 4;

б) 0; -1; -2; 3.

1)

Чтобы убедиться, что все представленные уравнения имеют одни и те же корни, найдем корни каждого из них. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Уравнение $5x(x + 1)(x - 2) = 0$:
Множители $5x$, $(x+1)$ и $(x-2)$ равны нулю при $x = 0$, $x = -1$ и $x = 2$ соответственно.
Корни: $\{0, -1, 2\}$.

Уравнение $x(x + 1)^2(x - 2) = 0$:
Множители $x$, $(x+1)^2$ и $(x-2)$ равны нулю при $x = 0$, $x = -1$ и $x = 2$ соответственно.
Корни: $\{0, -1, 2\}$.

Уравнение $x^2(x + 1)(2 - x) = 0$:
Множители $x^2$, $(x+1)$ и $(2-x)$ равны нулю при $x = 0$, $x = -1$ и $x = 2$ соответственно.
Корни: $\{0, -1, 2\}$.

Уравнение $x(x + 1)(2 - x)(x^2 + 1) = 0$:
Множители $x$, $(x+1)$ и $(2-x)$ равны нулю при $x = 0$, $x = -1$ и $x = 2$ соответственно. Множитель $(x^2 + 1)$ всегда больше нуля при любом действительном $x$, поэтому он не имеет действительных корней.
Корни: $\{0, -1, 2\}$.

Таким образом, все четыре уравнения имеют одинаковый набор действительных корней.

Ответ: Все уравнения имеют одни и те же корни: $0, -1, 2$.

2)

Чтобы составить уравнение с заданными корнями $x_1, x_2, \ldots, x_k$, используется принцип: если число $x_i$ является корнем, то выражение $(x - x_i)$ является множителем в левой части уравнения, а правая часть равна нулю. Общий вид такого уравнения: $a(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_k) = 0$, где $a$ - любое число, не равное нулю. Также можно возводить множители в степень или добавлять множители, не имеющие действительных корней.

а) Корнями являются числа: $0; -3; 4$.
Соответствующие множители: $(x-0)=x$, $(x-(-3))=(x+3)$ и $(x-4)$.
Несколько примеров уравнений:
1. $x(x+3)(x-4) = 0$
2. $8x(x+3)(x-4) = 0$
3. $x^2(x+3)(x-4) = 0$
Ответ: Например, $x(x+3)(x-4) = 0$ и $x^2(x+3)(x-4) = 0$.

б) Корнями являются числа: $0; -1; -2; 3$.
Соответствующие множители: $x$, $(x-(-1))=(x+1)$, $(x-(-2))=(x+2)$ и $(x-3)$.
Несколько примеров уравнений:
1. $x(x+1)(x+2)(x-3) = 0$
2. $-x(x+1)(x+2)(x-3) = 0$
3. $x(x+1)(x+2)(x-3)(x^2+4) = 0$
Ответ: Например, $x(x+1)(x+2)(x-3) = 0$ и $x(x+1)(x+2)(x-3)(x^2+4) = 0$.