Номер 384, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 384, страница 159.

384 Решите уравнение, воспользовавшись приёмом разложения на множители:

а) $x^3 - 4x = 0;$

б) $3x + 3x^2 = 0;$

в) $81x^2 - x^4 = 0;$

г) $x^3 - 2x^2 + x = 0;$

д) $x^3 - 4x^2 + 3x = 0;$

е) $6x^2 + 5x^3 + x^4 = 0;$

ж) $16x^3 = x;$

з) $x^3 + x = 2x;$

и) $9x^2 = x^4.$

а) $x^3 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 4) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 2)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$
Ответ: -2; 0; 2.

б) $3x + 3x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(1 + x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$3x = 0$ или $1 + x = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = -1$
Ответ: -1; 0.

в) $81x^2 - x^4 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(81 - x^2) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2(9 - x)(9 + x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0$ или $9 - x = 0$ или $9 + x = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 9$, $x_3 = -9$
Ответ: -9; 0; 9.

г) $x^3 - 2x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 2x + 1) = 0$
Выражение в скобках является полным квадратом разности, свернем его по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$x(x - 1)^2 = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $(x - 1)^2 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 1$
Ответ: 0; 1.

д) $x^3 - 4x^2 + 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 4x + 3) = 0$
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 3$ на множители. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корни: 1 и 3. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Уравнение примет вид:
$x(x - 1)(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x - 3 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3$
Ответ: 0; 1; 3.

е) $6x^2 + 5x^3 + x^4 = 0$
Расположим слагаемые по убыванию степеней $x$ и вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^4 + 5x^3 + 6x^2 = 0$
$x^2(x^2 + 5x + 6) = 0$
Разложим квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 6$ на множители. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение равно 6. Корни: -2 и -3. Таким образом, $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.
Уравнение примет вид:
$x^2(x + 2)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0$ или $x + 2 = 0$ или $x + 3 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = -3$
Ответ: -3; -2; 0.

ж) $16x^3 = x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$16x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(16x^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(4x - 1)(4x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $4x - 1 = 0$ или $4x + 1 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{4}$, $x_3 = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}; 0; \frac{1}{4}$.

з) $x^3 + x = 2x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$x^3 + x - 2x = 0$
$x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$
Ответ: -1; 0; 1.

и) $9x^2 = x^4$
Перенесем все члены уравнения в одну часть:
$x^4 - 9x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 9) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2(x - 3)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0$ или $x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$
Ответ: -3; 0; 3.