Номер 386, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 386, страница 160.

Найдите корни уравнения (386–387).

386 а) $3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0;$

б) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0;$

в) $3 + x - 3x^2 - x^3 = 0;$

г) $5x^3 - x^2 + 20x - 4 = 0;$

д) $x^4 + 5x^3 - 4x^2 - 20x = 0;$

е) $x - x^2 + 2x^3 - 2x^4 = 0.$

а) $3x^3 - x^2 - 27x + 9 = 0$

Для решения уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^3 - x^2) + (-27x + 9) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(3x - 1) - 9(3x - 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(3x - 1) = 0$

Первый множитель является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 3)(x + 3)(3x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$

$3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x_3 = \frac{1}{3}$

Ответ: $-3; \frac{1}{3}; 3$.

б) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(2x^3 + x^2) + (6x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x + 1)$ за скобки:

$(x^2 + 3)(2x + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

2) $x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

в) $3 + x - 3x^2 - x^3 = 0$

Перепишем уравнение, упорядочив члены по убыванию степеней $x$ и умножим на $-1$:

$-x^3 - 3x^2 + x + 3 = 0$

$x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(x^3 + 3x^2) - (x + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) - 1(x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки:

$(x^2 - 1)(x + 3) = 0$

Разложим первый множитель по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Ответ: $-3; -1; 1$.

г) $5x^3 - x^2 + 20x - 4 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(5x^3 - x^2) + (20x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(5x - 1) + 4(5x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x - 1)$ за скобки:

$(x^2 + 4)(5x - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $5x - 1 = 0 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$

2) $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

д) $x^4 + 5x^3 - 4x^2 - 20x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^3 + 5x^2 - 4x - 20) = 0$

Отсюда следует, что либо $x_1 = 0$, либо $x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0$.

Решим кубическое уравнение $x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0$ методом группировки:

$(x^3 + 5x^2) - (4x + 20) = 0$

$x^2(x + 5) - 4(x + 5) = 0$

$(x^2 - 4)(x + 5) = 0$

$(x - 2)(x + 2)(x + 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти остальные корни:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_4 = -5$

Ответ: $-5; -2; 0; 2$.

е) $x - x^2 + 2x^3 - 2x^4 = 0$

Перепишем уравнение, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:

$-2x^4 + 2x^3 - x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(2x^3 - 2x^2 + x - 1) = 0$

Отсюда следует, что либо $x_1 = 0$, либо $2x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$.

Решим кубическое уравнение $2x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ методом группировки:

$(2x^3 - 2x^2) + (x - 1) = 0$

$2x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$

$(2x^2 + 1)(x - 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

2) $2x^2 + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, у уравнения два действительных корня.

Ответ: $0; 1$.