Номер 371, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 371, страница 154.

371 Найдите выражение, при подстановке которого вместо A в данное равенство получается тождество, и выполните проверку:

а) $ \frac{2x + 9}{x^2 - x - 6} = \frac{3}{x - 3} + A; $

б) $ A + \frac{3}{x - 4} = \frac{6x - 15}{x^2 - 5x + 4}; $

в) $ \frac{2}{x^2 + 3x + 2} = A \cdot \frac{x + 3}{x + 2}; $

г) $ A : \frac{x - 4}{x - 1} = \frac{x}{x^2 - x - 12}; $

а)

Исходное равенство: $ \frac{2x + 9}{x^2 - x - 6} = \frac{3}{x - 3} + A $

Чтобы найти выражение A, выразим его из данного равенства, перенеся дробь $ \frac{3}{x - 3} $ в левую часть:

$ A = \frac{2x + 9}{x^2 - x - 6} - \frac{3}{x - 3} $

Разложим знаменатель первой дроби на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Корнями являются числа 3 и -2.

Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Подставим разложение в выражение для A:

$ A = \frac{2x + 9}{(x - 3)(x + 2)} - \frac{3}{x - 3} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 2)$:

$ A = \frac{2x + 9}{(x - 3)(x + 2)} - \frac{3(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{(2x + 9) - 3(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ A = \frac{2x + 9 - 3x - 6}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{-x + 3}{(x - 3)(x + 2)} $

Вынесем -1 за скобки в числителе и сократим дробь на $(x - 3)$:

$ A = \frac{-(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = -\frac{1}{x + 2} $

Проверка:

Подставим найденное выражение для A в правую часть исходного равенства:

$ \frac{3}{x - 3} + A = \frac{3}{x - 3} + (-\frac{1}{x + 2}) = \frac{3(x + 2) - 1(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{3x + 6 - x + 3}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2x + 9}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2x + 9}{x^2 - x - 6} $

Правая часть стала равна левой, следовательно, тождество выполняется.

Ответ: $ A = -\frac{1}{x + 2} $

б)

Исходное равенство: $ A + \frac{3}{x - 4} = \frac{6x - 15}{x^2 - 5x + 4} $

Выразим A из равенства:

$ A = \frac{6x - 15}{x^2 - 5x + 4} - \frac{3}{x - 4} $

Разложим на множители знаменатель $x^2 - 5x + 4$. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ по теореме Виета равны 1 и 4.

Значит, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Подставим разложение в выражение для A:

$ A = \frac{6x - 15}{(x - 1)(x - 4)} - \frac{3}{x - 4} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 4)$:

$ A = \frac{6x - 15}{(x - 1)(x - 4)} - \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{(6x - 15) - 3(x - 1)}{(x - 1)(x - 4)} $

Упростим числитель:

$ A = \frac{6x - 15 - 3x + 3}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{3x - 12}{(x - 1)(x - 4)} $

Вынесем 3 за скобки в числителе и сократим дробь на $(x - 4)$:

$ A = \frac{3(x - 4)}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{3}{x - 1} $

Проверка:

Подставим A в левую часть исходного равенства:

$ A + \frac{3}{x - 4} = \frac{3}{x - 1} + \frac{3}{x - 4} = \frac{3(x - 4) + 3(x - 1)}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{3x - 12 + 3x - 3}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{6x - 15}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{6x - 15}{x^2 - 5x + 4} $

Левая часть стала равна правой, тождество выполняется.

Ответ: $ A = \frac{3}{x - 1} $

в)

Исходное равенство: $ \frac{2}{x^2 + 3x + 2} = A \cdot \frac{x + 3}{x + 2} $

Чтобы найти A, разделим левую часть на дробь $ \frac{x + 3}{x + 2} $, что равносильно умножению на обратную дробь $ \frac{x + 2}{x + 3} $:

$ A = \frac{2}{x^2 + 3x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 3} $

Разложим на множители знаменатель $x^2 + 3x + 2$. Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны -1 и -2.

Следовательно, $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

Подставим разложение в выражение для A:

$ A = \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 3} $

Сократим дробь на $(x + 2)$:

$ A = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)} $

Проверка:

Подставим A в правую часть исходного равенства:

$ A \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x^2 + 3x + 2} $

Правая часть стала равна левой, тождество выполняется.

Ответ: $ A = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)} $

г)

Исходное равенство: $ A : \frac{x - 4}{x - 1} = \frac{x}{x^2 - x - 12} $

В данном равенстве A является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель:

$ A = \frac{x}{x^2 - x - 12} \cdot \frac{x - 4}{x - 1} $

Разложим на множители знаменатель $x^2 - x - 12$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ по теореме Виета равны 4 и -3.

Значит, $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$.

Подставим разложение в выражение для A:

$ A = \frac{x}{(x - 4)(x + 3)} \cdot \frac{x - 4}{x - 1} $

Сократим дробь на $(x - 4)$:

$ A = \frac{x}{(x + 3)(x - 1)} $

Проверка:

Подставим A в левую часть исходного равенства:

$ A : \frac{x - 4}{x - 1} = \frac{x}{(x + 3)(x - 1)} : \frac{x - 4}{x - 1} = \frac{x}{(x + 3)(x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 4} = \frac{x}{(x + 3)(x - 4)} = \frac{x}{x^2 - x - 12} $

Левая часть стала равна правой, тождество выполняется.

Ответ: $ A = \frac{x}{(x + 3)(x - 1)} $