Номер 367, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 367, страница 154.

367 a) $\frac{m^2 - 12mn + 35n^2}{m^2 - 25n^2}$;

б) $\frac{a^2 - 7ab + 6b^2}{a^2 - 2ab + b^2}$;

В) $\frac{4y^2 - x^2}{x^2 - 7xy + 10y^2}$;

Г) $\frac{15p^2 - 8pq + q^2}{5pq - q^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 - 12mn + 35n^2}{m^2 - 25n^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $m^2 - 12mn + 35n^2$ является квадратным трёхчленом относительно переменной $m$. Найдём два выражения, произведение которых равно $35n^2$, а сумма равна $-12n$. Это $-5n$ и $-7n$. Таким образом, числитель раскладывается на множители: $m^2 - 12mn + 35n^2 = (m - 5n)(m - 7n)$.
Знаменатель $m^2 - 25n^2$ является разностью квадратов: $m^2 - (5n)^2$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $m^2 - 25n^2 = (m - 5n)(m + 5n)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(m - 5n)(m - 7n)}{(m - 5n)(m + 5n)}$
Сократим общий множитель $(m - 5n)$:
$\frac{m - 7n}{m + 5n}$
Ответ: $\frac{m - 7n}{m + 5n}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 7ab + 6b^2}{a^2 - 2ab + b^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a^2 - 7ab + 6b^2$ является квадратным трёхчленом относительно $a$. Найдём два выражения, произведение которых равно $6b^2$, а сумма равна $-7b$. Это $-a$ и $-6b$. Таким образом: $a^2 - 7ab + 6b^2 = (a - b)(a - 6b)$.
Знаменатель $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности. Используя формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, получаем: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(a - b)(a - 6b)}{(a - b)^2} = \frac{(a - b)(a - 6b)}{(a - b)(a - b)}$
Сократим общий множитель $(a - b)$:
$\frac{a - 6b}{a - b}$
Ответ: $\frac{a - 6b}{a - b}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{4y^2 - x^2}{x^2 - 7xy + 10y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $4y^2 - x^2$ является разностью квадратов: $(2y)^2 - x^2$. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $(2y - x)(2y + x)$.
Знаменатель $x^2 - 7xy + 10y^2$ является квадратным трёхчленом относительно $x$. Найдём два выражения, произведение которых равно $10y^2$, а сумма равна $-7y$. Это $-2y$ и $-5y$. Таким образом: $x^2 - 7xy + 10y^2 = (x - 2y)(x - 5y)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(2y - x)(2y + x)}{(x - 2y)(x - 5y)}$
Заметим, что $(2y - x) = -(x - 2y)$. Заменим это в числителе:
$\frac{-(x - 2y)(2y + x)}{(x - 2y)(x - 5y)}$
Сократим общий множитель $(x - 2y)$:
$\frac{-(2y + x)}{x - 5y} = \frac{x + 2y}{-(x - 5y)} = \frac{x + 2y}{5y - x}$
Ответ: $\frac{x + 2y}{5y - x}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{15p^2 - 8pq + q^2}{5pq - q^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Для разложения числителя $15p^2 - 8pq + q^2$ представим средний член $-8pq$ в виде суммы $-3pq - 5pq$ и сгруппируем:
$15p^2 - 3pq - 5pq + q^2 = (15p^2 - 3pq) - (5pq - q^2) = 3p(5p - q) - q(5p - q) = (3p - q)(5p - q)$.
Знаменатель $5pq - q^2$ раскладывается на множители вынесением общего множителя $q$ за скобки: $q(5p - q)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(3p - q)(5p - q)}{q(5p - q)}$
Сократим общий множитель $(5p - q)$:
$\frac{3p - q}{q}$
Ответ: $\frac{3p - q}{q}$