Номер 369, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 369, страница 154.

369 a) $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2 = m^2 - 2;$

б) $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9) = 6(a^2 + 15).$

а) Чтобы доказать тождество $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2 = m^2 - 2$, преобразуем его левую часть, используя формулы сокращенного умножения.

1. Применим формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $ к первым двум множителям:
$(m - 1)(m + 1) = m^2 - 1$.
2. Теперь произведение первых трех множителей также является разностью квадратов:
$(m^2 - 1)(m^2 + 1) = (m^2)^2 - 1^2 = m^4 - 1$.
3. Раскроем скобки в выражении $(m^2 - 1)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:
$(m^2 - 1)^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 1 + 1^2 = m^4 - 2m^2 + 1$.
4. Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$(m^4 - 1) - (m^4 - 2m^2 + 1) - m^2$.
5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$m^4 - 1 - m^4 + 2m^2 - 1 - m^2 = (m^4 - m^4) + (2m^2 - m^2) + (-1 - 1) = m^2 - 2$.
В результате преобразования левая часть стала равна $m^2 - 2$, что совпадает с правой частью. Таким образом, $m^2 - 2 = m^2 - 2$.
Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9) = 6(a^2 + 15)$, преобразуем левую и правую части по отдельности.

Преобразование левой части: $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9)$.
1. Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:
$(a^2 + 3)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = a^4 + 6a^2 + 9$.
2. Преобразуем произведение $(a - 3)(a + 3)$ по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:
$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
3. Теперь произведение $(a^2 - 9)(a^2 + 9)$ также является разностью квадратов:
$(a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$.
4. Подставим результаты в левую часть и упростим:
$(a^4 + 6a^2 + 9) - (a^4 - 81) = a^4 + 6a^2 + 9 - a^4 + 81 = (a^4 - a^4) + 6a^2 + (9 + 81) = 6a^2 + 90$.

Преобразование правой части: $6(a^2 + 15)$.
1. Раскроем скобки:
$6 \cdot a^2 + 6 \cdot 15 = 6a^2 + 90$.

Сравнив результаты преобразований, видим, что левая и правая части равны: $6a^2 + 90 = 6a^2 + 90$.
Ответ: тождество доказано.