Номер 362, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 362, страница 152.

362 Найдите область определения выражения:

а) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + z^2}$

б) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + 1}$

в) $\frac{\frac{1}{x + y} + z}{x^2 + y^2 + 1}$

а) Область определения выражения $ \frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2} $ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Знаменатель равен $ x^2+y^2+z^2 $. Найдем, при каких значениях переменных он обращается в ноль:

$ x^2+y^2+z^2 = 0 $

Так как квадраты действительных чисел неотрицательны ($ x^2 \ge 0 $, $ y^2 \ge 0 $ и $ z^2 \ge 0 $), их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:

$ x^2 = 0 \Rightarrow x=0 $

$ y^2 = 0 \Rightarrow y=0 $

$ z^2 = 0 \Rightarrow z=0 $

Таким образом, знаменатель обращается в ноль только в одной точке $ (0, 0, 0) $. Следовательно, эту точку необходимо исключить из области определения.

Ответ: Область определения – все точки $ (x, y, z) $ пространства $ \mathbb{R}^3 $, кроме точки $ (0, 0, 0) $. Или в виде множества: $ \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2 \neq 0 \} $.

б) Область определения выражения $ \frac{x+y+z}{x^2+y^2+1} $ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Знаменатель равен $ x^2+y^2+1 $. Проверим, может ли он быть равен нулю.

Поскольку $ x^2 \ge 0 $ и $ y^2 \ge 0 $ для любых действительных чисел $ x $ и $ y $, их сумма $ x^2+y^2 \ge 0 $.

Тогда $ x^2+y^2+1 \ge 0+1=1 $.

Знаменатель всегда больше или равен 1, следовательно, он никогда не обращается в ноль. Переменная $ z $ в числителе может принимать любые действительные значения.

Таким образом, выражение определено для любых действительных значений $ x, y, z $.

Ответ: Область определения – все точки $ (x, y, z) $ пространства $ \mathbb{R}^3 $.

в) Выражение $ \frac{\frac{1}{x+y}+z}{x^2+y^2+1} $ является сложной дробью. Для нахождения области определения необходимо, чтобы все знаменатели в выражении были отличны от нуля.

В данном выражении есть два знаменателя:

1. Знаменатель внутренней дроби $ \frac{1}{x+y} $, который равен $ x+y $.

2. Знаменатель основной дроби, который равен $ x^2+y^2+1 $.

Соответственно, должны выполняться два условия:

1. $ x+y \neq 0 $, что эквивалентно $ y \neq -x $. Это условие исключает все точки, лежащие на плоскости $ x+y=0 $.

2. $ x^2+y^2+1 \neq 0 $. Как было показано в пункте б), $ x^2+y^2+1 \ge 1 $, поэтому это условие выполняется для любых действительных $ x $ и $ y $.

Таким образом, единственным ограничением для области определения является $ x+y \neq 0 $.

Ответ: Область определения – множество всех точек $ (x, y, z) $ пространства $ \mathbb{R}^3 $, для которых выполняется условие $ x+y \neq 0 $.