Номер 360, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 360, страница 152.

360 Найдите область определения выражения:

а) $\frac{b}{b^3 - 1} - \frac{1}{b}$

б) $\frac{3}{a^2 - 4} + \frac{a}{(a - 1)^2}$

в) $\frac{x + 3}{x^2 - x - 20} - \frac{3}{x^2 - 9}$

г) $\frac{1}{2x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 - x + 1}$

а)

Область определения выражения $ \frac{b}{b^3 - 1} - \frac{1}{b} $ находится из условия, что знаменатели входящих в него дробей не должны обращаться в ноль. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} b^3 - 1 \neq 0 \\ b \neq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ b^3 \neq 1 $

$ b \neq \sqrt[3]{1} $

$ b \neq 1 $

Второе неравенство $ b \neq 0 $ уже представлено в готовом виде. Таким образом, область определения выражения — это все действительные числа, за исключением $0$ и $1$.

Ответ: $b \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

б)

Область определения выражения $ \frac{3}{a^2 - 4} + \frac{a}{(a - 1)^2} $ определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю:

$ \begin{cases} a^2 - 4 \neq 0 \\ (a - 1)^2 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$ (a - 2)(a + 2) \neq 0 $

Отсюда следует, что $ a \neq 2 $ и $ a \neq -2 $.

Решим второе неравенство:

$ (a - 1)^2 \neq 0 $

$ a - 1 \neq 0 $

$ a \neq 1 $

Объединяя все условия, получаем, что переменная $a$ может быть любым действительным числом, кроме $-2$, $1$ и $2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

в)

Для нахождения области определения выражения $ \frac{x + 3}{x^2 - x - 20} - \frac{3}{x^2 - 9} $ необходимо, чтобы оба знаменателя были не равны нулю:

$ \begin{cases} x^2 - x - 20 \neq 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство. Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 - x - 20 = 0 $. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

$ x_1 = \frac{1 - 9}{2} = -4 $

$ x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5 $

Следовательно, $ x \neq -4 $ и $ x \neq 5 $.

Рассмотрим второе неравенство:

$ x^2 - 9 \neq 0 $

$ (x - 3)(x + 3) \neq 0 $

Отсюда $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Таким образом, из области определения исключаются числа $-4, -3, 3, 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; 5) \cup (5; +\infty)$.

г)

Область определения выражения $ \frac{1}{2x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 - x + 1} $ находится из условий неравенства нулю знаменателей:

$ \begin{cases} 2x^2 + x \neq 0 \\ 2x^2 - x + 1 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство, вынеся общий множитель за скобки:

$ x(2x + 1) \neq 0 $

Это означает, что $ x \neq 0 $ и $ 2x + 1 \neq 0 $, откуда $ x \neq -0.5 $.

Решим второе неравенство. Для этого проверим, имеет ли квадратное уравнение $ 2x^2 - x + 1 = 0 $ действительные корни. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 $

Поскольку дискриминант $ D < 0 $, уравнение $ 2x^2 - x + 1 = 0 $ не имеет действительных корней. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), то выражение $ 2x^2 - x + 1 $ всегда положительно при любом значении $x$. Следовательно, второе условие выполняется для всех действительных чисел.

Ограничения на область определения накладывает только первый знаменатель: $ x \neq 0 $ и $ x \neq -0.5 $.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.