Номер 354, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 354, страница 151.

Докажите тождество (354–355).

354 a) $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2;$

б) $2(x + y)(x - y) + (x + y)^2 + (x - y)^2 = 4x^2.$

a) $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2$

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Выражение в левой части можно распознать как формулу сокращенного умножения, а именно квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Если мы примем $a = (x + y)$ и $b = (x - y)$, то исходное выражение $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y)$ можно переписать как $b^2 + a^2 - 2ab$, что эквивалентно $(a - b)^2$.

В качестве другого, более прямолинейного подхода, можно заметить, что левая часть имеет вид $A^2 + B^2 - 2AB$, где $A = (x-y)$ и $B = (x+y)$. Это формула для $(A-B)^2$.

Сделаем подстановку, используя эту формулу:

$(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = ((x - y) - (x + y))^2$

Теперь упростим выражение, получившееся в скобках, раскрыв внутренние скобки:

$((x - y) - (x + y))^2 = (x - y - x - y)^2$

Приведем подобные члены внутри скобок:

$(x - x - y - y)^2 = (-2y)^2$

Возведем в квадрат:

$(-2y)^2 = 4y^2$

Мы получили, что левая часть тождества равна $4y^2$, что в точности совпадает с правой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) $2(x + y)(x - y) + (x + y)^2 + (x - y)^2 = 4x^2$

Преобразуем левую часть тождества. Для наглядности переставим слагаемые:

$(x + y)^2 + (x - y)^2 + 2(x + y)(x - y)$

Это выражение соответствует формуле квадрата суммы: $a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$. В данном случае в качестве $a$ выступает выражение $(x + y)$, а в качестве $b$ — выражение $(x - y)$.

Применим эту формулу:

$((x + y) + (x - y))^2$

Упростим выражение в скобках, раскрыв их:

$(x + y + x - y)^2$

Приведем подобные члены внутри скобок:

$(x + x + y - y)^2 = (2x)^2$

Возведем в квадрат:

$(2x)^2 = 4x^2$

Левая часть тождества равна $4x^2$, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.