Номер 350, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 350, страница 150.

350 a) $\left(\frac{z}{x-z} + \frac{x+z}{z}\right) : \frac{x}{x^2-z^2};$

B) $\frac{2}{3-a} + \frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2};$

б) $\frac{16-m^2}{16m^2} \cdot \left(\frac{m-4}{m+4} - \frac{m+4}{m-4}\right);$

Г) $\frac{ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a+b} - \frac{b}{a^2-b^2}.$

а) Решим выражение $ \left( \frac{z}{x-z} + \frac{x+z}{z} \right) : \frac{x}{x^2 - z^2} $.

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $z(x-z)$.

$ \frac{z}{x-z} + \frac{x+z}{z} = \frac{z \cdot z}{(x-z)z} + \frac{(x+z)(x-z)}{z(x-z)} = \frac{z^2 + (x^2 - z^2)}{z(x-z)} = \frac{z^2 + x^2 - z^2}{z(x-z)} = \frac{x^2}{z(x-z)} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Также разложим знаменатель делителя по формуле разности квадратов: $x^2 - z^2 = (x-z)(x+z)$.

$ \frac{x^2}{z(x-z)} : \frac{x}{x^2 - z^2} = \frac{x^2}{z(x-z)} \cdot \frac{x^2 - z^2}{x} = \frac{x^2}{z(x-z)} \cdot \frac{(x-z)(x+z)}{x} $

3. Сократим общие множители $x$ и $(x-z)$ в числителе и знаменателе.

$ \frac{x \cdot x \cdot (x-z)(x+z)}{z(x-z) \cdot x} = \frac{x(x+z)}{z} $

Ответ: $ \frac{x(x+z)}{z} $.

б) Решим выражение $ \frac{16-m^2}{16m^2} \cdot \left( \frac{m-4}{m+4} - \frac{m+4}{m-4} \right) $.

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(m+4)(m-4) = m^2-16$.

$ \frac{m-4}{m+4} - \frac{m+4}{m-4} = \frac{(m-4)^2}{(m+4)(m-4)} - \frac{(m+4)^2}{(m+4)(m-4)} = \frac{(m-4)^2 - (m+4)^2}{m^2-16} $

2. Раскроем квадраты в числителе по формулам сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$ \frac{(m^2 - 8m + 16) - (m^2 + 8m + 16)}{m^2 - 16} = \frac{m^2 - 8m + 16 - m^2 - 8m - 16}{m^2 - 16} = \frac{-16m}{m^2 - 16} $

3. Теперь выполним умножение. Представим $16-m^2$ как $-(m^2-16)$.

$ \frac{16-m^2}{16m^2} \cdot \frac{-16m}{m^2 - 16} = \frac{-(m^2 - 16)}{16m^2} \cdot \frac{-16m}{m^2 - 16} $

4. Сократим общие множители $(m^2-16)$, $16$ и $m$.

$ \frac{-(m^2-16) \cdot (-16m)}{16m^2 \cdot (m^2-16)} = \frac{-1 \cdot (-1)}{m} = \frac{1}{m} $

Ответ: $ \frac{1}{m} $.

в) Решим выражение $ \frac{2}{3-a} + \frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2} $.

1. По порядку действий сначала выполняем умножение. Разложим числители и знаменатели дробей на множители по формуле разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$ \frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{a-2} $

2. Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+3)$.

$ \frac{(a-2)(a+2)(a+3)}{(a-3)(a+3)(a-2)} = \frac{a+2}{a-3} $

3. Теперь выполним сложение. Заметим, что знаменатель первой дроби $3-a = -(a-3)$.

$ \frac{2}{3-a} + \frac{a+2}{a-3} = \frac{2}{-(a-3)} + \frac{a+2}{a-3} = -\frac{2}{a-3} + \frac{a+2}{a-3} $

4. Так как знаменатели одинаковы, сложим числители.

$ \frac{-2 + a + 2}{a-3} = \frac{a}{a-3} $

Ответ: $ \frac{a}{a-3} $.

г) Решим выражение $ \frac{ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a+b} - \frac{b}{a^2-b^2} $.

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим знаменатель первой дроби на множители.

$ \frac{ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{ab} $

2. Сократим общие множители $ab$ и $(a+b)$.

$ \frac{ab \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b) \cdot ab} = \frac{1}{a-b} $

3. Теперь выполним вычитание, подставив результат деления в исходное выражение.

$ \frac{1}{a-b} - \frac{b}{a^2-b^2} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$, который равен $a^2-b^2$.

$ \frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-b}{(a-b)(a+b)} $

5. Упростим числитель и запишем окончательный результат.

$ \frac{a}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a^2-b^2} $

Ответ: $ \frac{a}{a^2-b^2} $.