Страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

392 РАССУЖДАЕМ

На рисунке 3.5 изображены графики функций:

$f(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)$, $p(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)$,

$g(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 3)$, $q(x) = -(x + 1)(x - 1)(x + 3)$.

Соотнесите каждый график с формулой.

Рис. 3.5

Чтобы соотнести каждую функцию с ее графиком, проанализируем ключевые характеристики функций: точки пересечения с осями координат (нули функции и значение при $x=0$) и поведение функции на бесконечности (определяется знаком старшего коэффициента многочлена).

f(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)

1. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$:$(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0$Корни: $x = 1$, $x = -1$, $x = 3$.График пересекает ось абсцисс в точках -1, 1 и 3.

2. Точка пересечения с осью Oy.Найдем значение функции при $x = 0$:$f(0) = (0 - 1)(0 + 1)(0 - 3) = (-1)(1)(-3) = 3$.График пересекает ось ординат в точке (0, 3).

3. Поведение на бесконечности.Старший член многочлена $x \cdot x \cdot x = x^3$, коэффициент при нем положителен. Значит, при $x \to +\infty$ функция стремится к $+\infty$, а при $x \to -\infty$ — к $-\infty$.

Этим условиям соответствует график под номером 2.

Ответ: графику функции $f(x)$ соответствует рисунок 2.

p(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)

1. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).$p(x) = 0 \implies (x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0$Корни: $x = 1$, $x = -2$, $x = 3$.График пересекает ось абсцисс в точках -2, 1 и 3.

2. Точка пересечения с осью Oy.$p(0) = (0 - 1)(0 + 2)(0 - 3) = (-1)(2)(-3) = 6$.График пересекает ось ординат в точке (0, 6).

3. Поведение на бесконечности.Старший член $x^3$, коэффициент положителен. Поведение аналогично $f(x)$.

Этим условиям (нули в точках -2, 1, 3 и пересечение оси Oy в точке 6) соответствует график под номером 3.

Ответ: графику функции $p(x)$ соответствует рисунок 3.

g(x) = (x + 1)(x - 1)(x + 3)

1. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).$g(x) = 0 \implies (x + 1)(x - 1)(x + 3) = 0$Корни: $x = -1$, $x = 1$, $x = -3$.График пересекает ось абсцисс в точках -3, -1 и 1.

2. Точка пересечения с осью Oy.$g(0) = (0 + 1)(0 - 1)(0 + 3) = (1)(-1)(3) = -3$.График пересекает ось ординат в точке (0, -3).

3. Поведение на бесконечности.Старший член $x^3$, коэффициент положителен. Поведение аналогично $f(x)$ и $p(x)$.

Этим условиям (нули в точках -3, -1, 1 и пересечение оси Oy в точке -3) соответствует график под номером 1.

Ответ: графику функции $g(x)$ соответствует рисунок 1.

q(x) = -(x + 1)(x - 1)(x + 3)

1. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).$q(x) = 0 \implies -(x + 1)(x - 1)(x + 3) = 0$Корни: $x = -1$, $x = 1$, $x = -3$.Нули функции совпадают с нулями функции $g(x)$.

2. Точка пересечения с осью Oy.$q(0) = -(0 + 1)(0 - 1)(0 + 3) = -(1)(-1)(3) = 3$.График пересекает ось ординат в точке (0, 3).

3. Поведение на бесконечности.Функция $q(x) = -g(x)$. Старший член многочлена $-x^3$, коэффициент при нем отрицателен. Значит, при $x \to +\infty$ функция стремится к $-\infty$, а при $x \to -\infty$ — к $+\infty$.

Этим условиям (нули в точках -3, -1, 1, пересечение оси Oy в точке 3 и поведение с отрицательным старшим коэффициентом) соответствует график под номером 4.

Ответ: графику функции $q(x)$ соответствует рисунок 4.

393 Применяем алгебру

Определите, пересекает ли график функции $y = f(x)$ ось $x$, и если да, то в каких точках:

a) $f(x) = x^4 + 4x^2 + 3$;

б) $f(x) = x^4 - 10x^2 + 9$;

в) $f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20;

г) $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 8x + 48.

а)

Чтобы определить, пересекает ли график функции $y = f(x)$ ось $x$, необходимо найти действительные корни уравнения $f(x) = 0$. Точки пересечения, если они существуют, будут иметь координаты $(x, 0)$.

Решим уравнение $x^4 + 4x^2 + 3 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное относительно $t$:

$t^2 + 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = -4$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 3$. Отсюда $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$.

Оба найденных значения для $t$ являются отрицательными, что противоречит условию $t \ge 0$. Следовательно, действительных решений для $t$ нет.

Это означает, что уравнения $x^2 = -1$ и $x^2 = -3$ не имеют действительных корней.

Также можно заметить, что для любого действительного $x$ выполняются неравенства $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$. Тогда $f(x) = x^4 + 4x^2 + 3 \ge 0 + 4 \cdot 0 + 3 = 3$. Значение функции всегда не меньше 3, поэтому она не может равняться нулю. График функции целиком лежит выше оси $x$.

Ответ: график функции не пересекает ось $x$.

б)

Решим уравнение $f(x) = 0$ для данной функции:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$).

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 10$ и $t_1 \cdot t_2 = 9$. Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Оба корня положительны, поэтому для каждого из них существуют действительные значения $x$. Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Если $t = 9$, то $x^2 = 9$, откуда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_3 = 3$ и $x_4 = -3$.

График функции пересекает ось $x$ в четырех точках.

Ответ: да, график функции пересекает ось $x$ в точках $(-3, 0)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

в)

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0$

Для решения этого кубического уравнения применим метод разложения на множители путем группировки:

$(x^3 - 5x^2) - (4x - 20) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 5) - 4(x - 5) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 5)$:

$(x^2 - 4)(x - 5) = 0$

Множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, поэтому $(x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 2)(x + 2)(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни:

$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

$x - 5 = 0 \implies x_3 = 5$

График функции пересекает ось $x$ в трех точках.

Ответ: да, график функции пересекает ось $x$ в точках $(-2, 0)$, $(2, 0)$ и $(5, 0)$.

г)

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$-x^3 + 6x^2 - 8x + 48 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$x^3 - 6x^2 + 8x - 48 = 0$

Применим метод группировки:

$(x^3 - 6x^2) + (8x - 48) = 0$

$x^2(x - 6) + 8(x - 6) = 0$

$(x^2 + 8)(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1. $x - 6 = 0 \implies x = 6$. Это действительный корень.

2. $x^2 + 8 = 0 \implies x^2 = -8$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: да, график функции пересекает ось $x$ в точке $(6, 0)$.