Номер 398, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 398, страница 166.

398 a) $z - \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$;

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$;

В) $2y = 5 - \frac{3}{y}$;

Г) $\frac{5}{x} + x = 6$;

Д) $8 - \frac{1}{y} = 7y$;

е) $6 = \frac{5}{z} - z$.

а) $z - \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$

Для решения данного рационального уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $z \neq 0$.

Далее, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $15z$, чтобы избавиться от дробей:

$15z \cdot z - 15z \cdot \frac{1}{z} = 15z \cdot \frac{16}{15}$

$15z^2 - 15 = 16z$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $az^2 + bz + c = 0$:

$15z^2 - 16z - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Вычислим корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{16 - 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$
$z_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{3}{5}; \frac{5}{3}$.

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$

ОДЗ: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $2x$:

$2x \cdot x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2x \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)$

$2x^2 + 2 = -5x$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$\sqrt{D} = 3$.

Найдем корни:
$x_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$
$x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; -\frac{1}{2}$.

в) $2y = 5 - \frac{3}{y}$

ОДЗ: $y \neq 0$. Перенесем все члены в левую часть и умножим на $y$:

$2y - 5 + \frac{3}{y} = 0$

$y \cdot (2y - 5 + \frac{3}{y}) = 0 \cdot y$

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$\sqrt{D} = 1$.

Найдем корни:
$y_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{3}{2}$.

г) $\frac{5}{x} + x = 6$

ОДЗ: $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot \frac{5}{x} + x \cdot x = 6 \cdot x$

$5 + x^2 = 6x$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Можно решить по теореме Виета: сумма корней равна $6$, а их произведение равно $5$. Отсюда корни $x_1=1$ и $x_2=5$.
Или через дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
$\sqrt{D} = 4$.

$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 5$.

д) $8 - \frac{1}{y} = 7y$

ОДЗ: $y \neq 0$. Умножим обе части на $y$:

$y \cdot \left(8 - \frac{1}{y}\right) = y \cdot 7y$

$8y - 1 = 7y^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$7y^2 - 8y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$.
$\sqrt{D} = 6$.

Найдем корни:
$y_1 = \frac{8 - 6}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
$y_2 = \frac{8 + 6}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{7}; 1$.

е) $6 = \frac{5}{z} - z$

ОДЗ: $z \neq 0$. Умножим обе части на $z$:

$6 \cdot z = z \cdot \left(\frac{5}{z} - z\right)$

$6z = 5 - z^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$z^2 + 6z - 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$.
$\sqrt{D} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$.

Найдем корни:
$z_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$

$z_1 = -3 - \sqrt{14}$
$z_2 = -3 + \sqrt{14}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3 - \sqrt{14}; -3 + \sqrt{14}$.