Страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Ответьте на вопрос задачи, составив и решив уравнение

(416—420).

416 а) Иван проехал на велосипеде 24 км. На автомобиле за это же время при скорости, на 30 км/ч большей, он проехал бы 84 км. С какой скоростью ехал Иван на велосипеде? За какое время он проехал это расстояние?

б) За одно и то же время пешеход прошёл 16 км, а велосипедист проехал 40 км. Скорость велосипедиста была больше скорости пешехода на 6 км/ч. Поставьте возможные вопросы к задаче и ответьте на них.

а)

Пусть $x$ км/ч — скорость Ивана на велосипеде. Тогда его скорость на автомобиле, которая на 30 км/ч больше, составляет $(x + 30)$ км/ч.
Время, затраченное на поездку на велосипеде, вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 24$ км, а $v = x$ км/ч. Таким образом, время равно $\frac{24}{x}$ ч.
Время, которое было бы затрачено на поездку на автомобиле, составляет $\frac{84}{x+30}$ ч.
Поскольку время в обоих случаях одинаковое, мы можем составить уравнение:

$\frac{24}{x} = \frac{84}{x+30}$

Для решения этого уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (перекрёстное умножение), учитывая, что скорость $x$ не может быть равна нулю или отрицательному числу:

$24 \cdot (x+30) = 84 \cdot x$

$24x + 720 = 84x$

Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону:

$720 = 84x - 24x$

$720 = 60x$

$x = \frac{720}{60}$

$x = 12$

Таким образом, скорость Ивана на велосипеде составляет 12 км/ч. Это ответ на первый вопрос задачи.

Чтобы ответить на второй вопрос, найдём, за какое время он проехал это расстояние. Подставим найденное значение скорости в выражение для времени:

$t = \frac{24}{x} = \frac{24}{12} = 2$ ч.

Ответ: скорость Ивана на велосипеде — 12 км/ч; он проехал это расстояние за 2 часа.

б)

В этой задаче даны расстояния и разница в скоростях пешехода и велосипедиста, которые двигались одинаковое время. Возможные вопросы к задаче:

1. Какова скорость пешехода?
2. Какова скорость велосипедиста?
3. Сколько времени они были в пути?

Чтобы ответить на эти вопросы, составим и решим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода. Так как скорость велосипедиста на 6 км/ч больше, она равна $(x+6)$ км/ч.
Время движения пешехода: $t = \frac{16}{x}$ ч.
Время движения велосипедиста: $t = \frac{40}{x+6}$ ч.
Поскольку время движения одинаково, приравняем эти два выражения:

$\frac{16}{x} = \frac{40}{x+6}$

Решим уравнение методом перекрёстного умножения:

$16 \cdot (x+6) = 40 \cdot x$

$16x + 96 = 40x$

$96 = 40x - 16x$

$96 = 24x$

$x = \frac{96}{24}$

$x = 4$

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы:

1. Скорость пешехода ($x$) равна 4 км/ч.
2. Скорость велосипедиста ($x+6$) равна $4+6 = 10$ км/ч.
3. Время в пути можно найти, подставив $x$ в любое из выражений для времени: $t = \frac{16}{4} = 4$ часа.

Ответ: возможные вопросы: 1. Какова скорость пешехода? 2. Какова скорость велосипедиста? 3. Сколько времени они были в пути? Ответы: 1. Скорость пешехода — 4 км/ч. 2. Скорость велосипедиста — 10 км/ч. 3. Время в пути — 4 часа.

417 а) Лодка проплыла 18 км по течению реки и за такое же время 10 км против течения реки. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и время движения лодки вниз по реке.

б) Катер проплыл 33 км вниз по течению реки, а затем такое же время плыл против течения, пройдя при этом 27 км. В стоячей воде катер плывёт со скоростью 20 км/ч. Сколько времени длилось путешествие?

а)

Обозначим собственную скорость лодки как $v_с$ (в км/ч), а скорость течения реки как $v_т$. Из условия задачи нам известно, что $v_т = 2$ км/ч.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения: $v_{по} = v_с + v_т = v_с + 2$ км/ч.
Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения: $v_{пр} = v_с - v_т = v_с - 2$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно отношению расстояния к скорости по течению: $$ t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{18}{v_с + 2} $$ Время, затраченное на путь против течения: $$ t_{пр} = \frac{S_{пр}}{v_{пр}} = \frac{10}{v_с - 2} $$

По условию, время движения по течению и против течения одинаково, то есть $t_{по} = t_{пр}$. Можем составить уравнение: $$ \frac{18}{v_с + 2} = \frac{10}{v_с - 2} $$

Решим это уравнение относительно $v_с$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 18 \cdot (v_с - 2) = 10 \cdot (v_с + 2) $$ $$ 18v_с - 36 = 10v_с + 20 $$ $$ 18v_с - 10v_с = 20 + 36 $$ $$ 8v_с = 56 $$ $$ v_с = \frac{56}{8} $$ $$ v_с = 7 $$ Таким образом, собственная скорость лодки составляет 7 км/ч.

Теперь найдем время движения лодки вниз по реке (по течению), подставив найденное значение $v_с$ в формулу для времени: $$ t_{по} = \frac{18}{v_с + 2} = \frac{18}{7 + 2} = \frac{18}{9} = 2 $$ Время движения вниз по реке составляет 2 часа.

Ответ: собственная скорость лодки 7 км/ч, время движения вниз по реке 2 часа.

б)

Обозначим собственную скорость катера как $v_с$, а скорость течения реки как $v_т$. Из условия задачи нам известно, что $v_с = 20$ км/ч.

Скорость катера по течению (вниз по реке): $v_{по} = v_с + v_т = 20 + v_т$ км/ч.
Скорость катера против течения: $v_{пр} = v_с - v_т = 20 - v_т$ км/ч.

Время, за которое катер прошел 33 км по течению: $$ t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{33}{20 + v_т} $$ Время, за которое катер прошел 27 км против течения: $$ t_{пр} = \frac{S_{пр}}{v_{пр}} = \frac{27}{20 - v_т} $$

По условию, время движения в обе стороны было одинаковым ($t_{по} = t_{пр}$), поэтому мы можем приравнять выражения для времени: $$ \frac{33}{20 + v_т} = \frac{27}{20 - v_т} $$

Решим полученное уравнение, чтобы найти скорость течения $v_т$: $$ 33 \cdot (20 - v_т) = 27 \cdot (20 + v_т) $$ $$ 660 - 33v_т = 540 + 27v_т $$ $$ 660 - 540 = 27v_т + 33v_т $$ $$ 120 = 60v_т $$ $$ v_т = \frac{120}{60} $$ $$ v_т = 2 $$ Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Вопрос задачи — сколько времени длилось все путешествие. Для этого найдем время движения в одну сторону, например, по течению: $$ t_{по} = \frac{33}{20 + v_т} = \frac{33}{20 + 2} = \frac{33}{22} = 1.5 $$ Время движения в одну сторону составляет 1,5 часа.

Так как катер плыл по течению и против течения одинаковое количество времени, общее время путешествия ($T_{общ}$) равно: $$ T_{общ} = t_{по} + t_{пр} = 1.5 + 1.5 = 3 $$ Все путешествие длилось 3 часа.

Ответ: путешествие длилось 3 часа.

418 a) Для класса купили несколько пачек тетрадей и столько же пачек блокнотов. Тетрадей в каждой пачке на 6 больше, чем блокнотов. Всего было куплено 120 тетрадей и 90 блокнотов. Сколько тетрадей в каждой пачке? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

б) Упаковали несколько посылок, распределив между ними поровну 48 книг и 120 журналов. Сколько получилось посылок, если в каждой из них книг на 6 меньше, чем журналов?

а)

Обозначим количество пачек тетрадей (и блокнотов) через $x$.

Пусть $t$ — количество тетрадей в одной пачке, а $b$ — количество блокнотов в одной пачке.

По условию задачи, всего было куплено 120 тетрадей и 90 блокнотов. Это можно записать в виде уравнений:

$x \cdot t = 120$

$x \cdot b = 90$

Также известно, что тетрадей в каждой пачке на 6 больше, чем блокнотов:

$t = b + 6$

Выразим $t$ и $b$ из первых двух уравнений:

$t = \frac{120}{x}$

$b = \frac{90}{x}$

Теперь подставим эти выражения в третье уравнение:

$\frac{120}{x} = \frac{90}{x} + 6$

Решим это уравнение относительно $x$. Для этого перенесем $\frac{90}{x}$ в левую часть:

$\frac{120}{x} - \frac{90}{x} = 6$

$\frac{120 - 90}{x} = 6$

$\frac{30}{x} = 6$

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Итак, было куплено 5 пачек тетрадей и 5 пачек блокнотов.

Теперь найдем, сколько тетрадей в каждой пачке, используя найденное значение $x$:

$t = \frac{120}{x} = \frac{120}{5} = 24$

В каждой пачке было 24 тетради.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

• Количество купленных пачек: 5.
• Количество блокнотов в каждой пачке: $b = \frac{90}{x} = \frac{90}{5} = 18$.
• Общее количество купленных предметов: $120 + 90 = 210$.
• Общее количество купленных пачек: $5 + 5 = 10$.

Ответ: в каждой пачке 24 тетради. Дополнительно можно узнать, что было куплено 5 пачек, в каждой из которых по 18 блокнотов.

б)

Обозначим количество посылок через $y$.

Пусть $k$ — количество книг в одной посылке, а $j$ — количество журналов в одной посылке.

По условию, всего было 48 книг и 120 журналов, распределенных поровну между посылками. Запишем это в виде уравнений:

$y \cdot k = 48$

$y \cdot j = 120$

Также известно, что в каждой посылке книг на 6 меньше, чем журналов:

$k = j - 6$

Выразим $k$ и $j$ из первых двух уравнений:

$k = \frac{48}{y}$

$j = \frac{120}{y}$

Подставим эти выражения в третье уравнение:

$\frac{48}{y} = \frac{120}{y} - 6$

Решим это уравнение относительно $y$. Перенесем 6 в левую часть, а $\frac{48}{y}$ в правую:

$6 = \frac{120}{y} - \frac{48}{y}$

$6 = \frac{120 - 48}{y}$

$6 = \frac{72}{y}$

$y = \frac{72}{6}$

$y = 12$

Следовательно, получилось 12 посылок.

Для проверки можно найти количество книг и журналов в одной посылке:
Книг в посылке: $k = \frac{48}{12} = 4$.
Журналов в посылке: $j = \frac{120}{12} = 10$.
Разница: $10 - 4 = 6$, что соответствует условию задачи.

Ответ: получилось 12 посылок.

419 а) Велосипедист проехал 7 км по шоссе и 5 км по просёлочной дороге, затратив на весь путь 1 ч. По просё(лку) он ехал со скоростью, на 4 км/ч меньшей, чем по шоссе. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

б) Улитка проползла по вертикальной стене 6 м вверх и спустилась на 5 м вниз, затратив на весь путь 14 ч. Её скорость при подъёме была на 2 м/ч меньше, чем при спуске. Сколько времени улитка ползла по стене вверх и сколько вниз?

а)

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста по шоссе. Тогда его скорость по просёлочной дороге равна $(x - 4)$ км/ч.
Время, затраченное на путь по шоссе, составляет $\frac{7}{x}$ ч.
Время, затраченное на путь по просёлочной дороге, составляет $\frac{5}{x - 4}$ ч.
Общее время в пути — 1 час. Составим и решим уравнение:

$\frac{7}{x} + \frac{5}{x - 4} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x-4)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей. ОДЗ (область допустимых значений): $x > 0$ и $x - 4 > 0$, следовательно $x > 4$.

$7(x - 4) + 5x = x(x - 4)$
$7x - 28 + 5x = x^2 - 4x$
$12x - 28 = x^2 - 4x$
$x^2 - 16x + 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 = 12^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x > 4$, так как в этом случае скорость по просёлочной дороге была бы отрицательной ($2 - 4 = -2$ км/ч), что невозможно.
Следовательно, скорость велосипедиста по шоссе равна 14 км/ч.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные?
Зная скорость на шоссе, можно найти:
1. Скорость по просёлочной дороге: $14 - 4 = 10$ км/ч.
2. Время движения по шоссе: $\frac{7 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = 0.5$ ч (30 минут).
3. Время движения по просёлочной дороге: $\frac{5 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0.5$ ч (30 минут).
4. Общий пройденный путь: $7 + 5 = 12$ км.
5. Среднюю скорость на всём пути: $\frac{12 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 12$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста по шоссе 14 км/ч. Также можно найти скорость по просёлочной дороге (10 км/ч), время движения по каждому участку пути (по 30 минут), общий путь (12 км) и среднюю скорость (12 км/ч).

б)

Пусть $x$ м/ч — скорость улитки при спуске. Тогда её скорость при подъёме равна $(x-2)$ м/ч.
Время, затраченное на подъём, составляет $\frac{6}{x-2}$ ч.
Время, затраченное на спуск, составляет $\frac{5}{x}$ ч.
Общее время в пути — 14 часов. Составим и решим уравнение:

$\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 14$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x-2)$ и умножим обе части уравнения на него. ОДЗ: $x > 0$ и $x - 2 > 0$, следовательно $x > 2$.

$6x + 5(x-2) = 14x(x-2)$
$6x + 5x - 10 = 14x^2 - 28x$
$11x - 10 = 14x^2 - 28x$
$14x^2 - 39x + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 14 \cdot 10 = 1521 - 560 = 961 = 31^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 + 31}{2 \cdot 14} = \frac{70}{28} = 2.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 - 31}{2 \cdot 14} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$

Корень $x_2 = \frac{2}{7}$ не удовлетворяет условию $x > 2$, так как в этом случае скорость при подъёме была бы отрицательной.
Следовательно, скорость улитки при спуске равна 2,5 м/ч.
Тогда скорость при подъёме равна $2.5 - 2 = 0.5$ м/ч.

Теперь найдём время, которое улитка ползла вверх и вниз:

Время подъёма: $\frac{6 \text{ м}}{0.5 \text{ м/ч}} = 12$ ч.
Время спуска: $\frac{5 \text{ м}}{2.5 \text{ м/ч}} = 2$ ч.

Проверка: $12 + 2 = 14$ ч, что соответствует условию задачи.

Ответ: улитка ползла по стене вверх 12 часов и вниз 2 часа.