Номер 419, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 419, страница 171.

419 а) Велосипедист проехал 7 км по шоссе и 5 км по просёлочной дороге, затратив на весь путь 1 ч. По просё(лку) он ехал со скоростью, на 4 км/ч меньшей, чем по шоссе. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

б) Улитка проползла по вертикальной стене 6 м вверх и спустилась на 5 м вниз, затратив на весь путь 14 ч. Её скорость при подъёме была на 2 м/ч меньше, чем при спуске. Сколько времени улитка ползла по стене вверх и сколько вниз?

а)

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста по шоссе. Тогда его скорость по просёлочной дороге равна $(x - 4)$ км/ч.
Время, затраченное на путь по шоссе, составляет $\frac{7}{x}$ ч.
Время, затраченное на путь по просёлочной дороге, составляет $\frac{5}{x - 4}$ ч.
Общее время в пути — 1 час. Составим и решим уравнение:

$\frac{7}{x} + \frac{5}{x - 4} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x-4)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей. ОДЗ (область допустимых значений): $x > 0$ и $x - 4 > 0$, следовательно $x > 4$.

$7(x - 4) + 5x = x(x - 4)$
$7x - 28 + 5x = x^2 - 4x$
$12x - 28 = x^2 - 4x$
$x^2 - 16x + 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 = 12^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x > 4$, так как в этом случае скорость по просёлочной дороге была бы отрицательной ($2 - 4 = -2$ км/ч), что невозможно.
Следовательно, скорость велосипедиста по шоссе равна 14 км/ч.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные?
Зная скорость на шоссе, можно найти:
1. Скорость по просёлочной дороге: $14 - 4 = 10$ км/ч.
2. Время движения по шоссе: $\frac{7 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = 0.5$ ч (30 минут).
3. Время движения по просёлочной дороге: $\frac{5 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 0.5$ ч (30 минут).
4. Общий пройденный путь: $7 + 5 = 12$ км.
5. Среднюю скорость на всём пути: $\frac{12 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 12$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста по шоссе 14 км/ч. Также можно найти скорость по просёлочной дороге (10 км/ч), время движения по каждому участку пути (по 30 минут), общий путь (12 км) и среднюю скорость (12 км/ч).

б)

Пусть $x$ м/ч — скорость улитки при спуске. Тогда её скорость при подъёме равна $(x-2)$ м/ч.
Время, затраченное на подъём, составляет $\frac{6}{x-2}$ ч.
Время, затраченное на спуск, составляет $\frac{5}{x}$ ч.
Общее время в пути — 14 часов. Составим и решим уравнение:

$\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 14$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x-2)$ и умножим обе части уравнения на него. ОДЗ: $x > 0$ и $x - 2 > 0$, следовательно $x > 2$.

$6x + 5(x-2) = 14x(x-2)$
$6x + 5x - 10 = 14x^2 - 28x$
$11x - 10 = 14x^2 - 28x$
$14x^2 - 39x + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 14 \cdot 10 = 1521 - 560 = 961 = 31^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 + 31}{2 \cdot 14} = \frac{70}{28} = 2.5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 - 31}{2 \cdot 14} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$

Корень $x_2 = \frac{2}{7}$ не удовлетворяет условию $x > 2$, так как в этом случае скорость при подъёме была бы отрицательной.
Следовательно, скорость улитки при спуске равна 2,5 м/ч.
Тогда скорость при подъёме равна $2.5 - 2 = 0.5$ м/ч.

Теперь найдём время, которое улитка ползла вверх и вниз:

Время подъёма: $\frac{6 \text{ м}}{0.5 \text{ м/ч}} = 12$ ч.
Время спуска: $\frac{5 \text{ м}}{2.5 \text{ м/ч}} = 2$ ч.

Проверка: $12 + 2 = 14$ ч, что соответствует условию задачи.

Ответ: улитка ползла по стене вверх 12 часов и вниз 2 часа.