Номер 420, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 420, страница 172.

420 а) Катер спустился по течению реки, пройдя $28\text{ км}$, и тотчас вернулся назад, затратив на весь путь $7\text{ ч}$. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна $3\text{ км/ч}$? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

б) Расстояние между двумя причалами по реке равно $12\text{ км}$. Лодка проходит этот путь в два конца за $2\text{ ч}$. Скорость течения реки $2,5\text{ км/ч}$. Определите, какое время занимает у лодки путь по течению реки.

а)

Пусть $v_{соб}$ — скорость катера в стоячей воде (собственная скорость), а $v_{теч}$ — скорость течения реки.
По условию задачи нам даны:
Расстояние в одну сторону $S = 28$ км.
Скорость течения реки $v_{теч} = 3$ км/ч.
Общее время в пути $t_{общ} = 7$ ч.

Скорость катера по течению равна $v_{по~теч} = v_{соб} + v_{теч} = v_{соб} + 3$ км/ч.
Скорость катера против течения равна $v_{пр~теч} = v_{соб} - v_{теч} = v_{соб} - 3$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по~теч} = \frac{S}{v_{по~теч}} = \frac{28}{v_{соб} + 3}$.
Время, затраченное на путь против течения: $t_{пр~теч} = \frac{S}{v_{пр~теч}} = \frac{28}{v_{соб} - 3}$.

Общее время движения равно сумме времени по течению и против течения:
$t_{общ} = t_{по~теч} + t_{пр~теч}$
Составим уравнение:
$\frac{28}{v_{соб} + 3} + \frac{28}{v_{соб} - 3} = 7$

Для решения разделим обе части уравнения на 28:
$\frac{1}{v_{соб} + 3} + \frac{1}{v_{соб} - 3} = \frac{7}{28}$
$\frac{(v_{соб} - 3) + (v_{соб} + 3)}{(v_{соб} + 3)(v_{соб} - 3)} = \frac{1}{4}$
$\frac{2v_{соб}}{v_{соб}^2 - 9} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем:
$4 \cdot 2v_{соб} = 1 \cdot (v_{соб}^2 - 9)$
$8v_{соб} = v_{соб}^2 - 9$
$v_{соб}^2 - 8v_{соб} - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Корни уравнения: $v_1 = 9$ и $v_2 = -1$.
Скорость не может быть отрицательной, поэтому собственная скорость катера равна 9 км/ч.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные?
Зная собственную скорость катера, можно найти:
1. Скорость катера по течению: $v_{по~теч} = 9 + 3 = 12$ км/ч.
2. Скорость катера против течения: $v_{пр~теч} = 9 - 3 = 6$ км/ч.
3. Время, затраченное на путь по течению: $t_{по~теч} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ ч, что составляет 2 часа 20 минут.
4. Время, затраченное на путь против течения: $t_{пр~теч} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ ч, что составляет 4 часа 40 минут.

Ответ: Скорость катера в стоячей воде равна 9 км/ч. Дополнительно можно узнать скорость катера по течению и против течения, а также время, затраченное на каждый из этих путей.

б)

Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость лодки, а $v_{теч}$ — скорость течения реки.
По условию задачи нам даны:
Расстояние между причалами $S = 12$ км.
Общее время в пути (туда и обратно) $t_{общ} = 2$ ч.
Скорость течения реки $v_{теч} = 2,5$ км/ч.
Нужно найти время, которое занимает путь по течению, то есть $t_{по~теч}$.

Для нахождения $t_{по~теч}$ нам нужна скорость лодки по течению $v_{по~теч} = v_{соб} + v_{теч}$. Для этого сначала найдем собственную скорость лодки $v_{соб}$.

Аналогично предыдущей задаче, составим уравнение для общего времени в пути:
$t_{общ} = t_{по~теч} + t_{пр~теч}$
$\frac{12}{v_{соб} + 2,5} + \frac{12}{v_{соб} - 2,5} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{6}{v_{соб} + 2,5} + \frac{6}{v_{соб} - 2,5} = 1$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{6(v_{соб} - 2,5) + 6(v_{соб} + 2,5)}{(v_{соб} + 2,5)(v_{соб} - 2,5)} = 1$
$\frac{6v_{соб} - 15 + 6v_{соб} + 15}{v_{соб}^2 - (2,5)^2} = 1$
$\frac{12v_{соб}}{v_{соб}^2 - 6,25} = 1$

Отсюда получаем уравнение:
$v_{соб}^2 - 6,25 = 12v_{соб}$
$v_{соб}^2 - 12v_{соб} - 6,25 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$4v_{соб}^2 - 48v_{соб} - 25 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4(4)(-25) = 2304 + 400 = 2704$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{2704} = 52$.
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 + 52}{2 \cdot 4} = \frac{100}{8} = 12,5$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 - 52}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0,5$
Скорость не может быть отрицательной, следовательно, собственная скорость лодки $v_{соб} = 12,5$ км/ч.

Теперь можем найти время, которое лодка затратила на путь по течению.
Скорость по течению: $v_{по~теч} = v_{соб} + v_{теч} = 12,5 + 2,5 = 15$ км/ч.
Время по течению: $t_{по~теч} = \frac{S}{v_{по~теч}} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ часа.

Переведем время в минуты: $\frac{4}{5} \cdot 60 = 48$ минут.

Ответ: Время, которое занимает у лодки путь по течению реки, равно 48 минут (или 0,8 часа).