Номер 417, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 417, страница 171.

417 а) Лодка проплыла 18 км по течению реки и за такое же время 10 км против течения реки. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и время движения лодки вниз по реке.

б) Катер проплыл 33 км вниз по течению реки, а затем такое же время плыл против течения, пройдя при этом 27 км. В стоячей воде катер плывёт со скоростью 20 км/ч. Сколько времени длилось путешествие?

а)

Обозначим собственную скорость лодки как $v_с$ (в км/ч), а скорость течения реки как $v_т$. Из условия задачи нам известно, что $v_т = 2$ км/ч.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения: $v_{по} = v_с + v_т = v_с + 2$ км/ч.
Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения: $v_{пр} = v_с - v_т = v_с - 2$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно отношению расстояния к скорости по течению: $$ t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{18}{v_с + 2} $$ Время, затраченное на путь против течения: $$ t_{пр} = \frac{S_{пр}}{v_{пр}} = \frac{10}{v_с - 2} $$

По условию, время движения по течению и против течения одинаково, то есть $t_{по} = t_{пр}$. Можем составить уравнение: $$ \frac{18}{v_с + 2} = \frac{10}{v_с - 2} $$

Решим это уравнение относительно $v_с$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ 18 \cdot (v_с - 2) = 10 \cdot (v_с + 2) $$ $$ 18v_с - 36 = 10v_с + 20 $$ $$ 18v_с - 10v_с = 20 + 36 $$ $$ 8v_с = 56 $$ $$ v_с = \frac{56}{8} $$ $$ v_с = 7 $$ Таким образом, собственная скорость лодки составляет 7 км/ч.

Теперь найдем время движения лодки вниз по реке (по течению), подставив найденное значение $v_с$ в формулу для времени: $$ t_{по} = \frac{18}{v_с + 2} = \frac{18}{7 + 2} = \frac{18}{9} = 2 $$ Время движения вниз по реке составляет 2 часа.

Ответ: собственная скорость лодки 7 км/ч, время движения вниз по реке 2 часа.

б)

Обозначим собственную скорость катера как $v_с$, а скорость течения реки как $v_т$. Из условия задачи нам известно, что $v_с = 20$ км/ч.

Скорость катера по течению (вниз по реке): $v_{по} = v_с + v_т = 20 + v_т$ км/ч.
Скорость катера против течения: $v_{пр} = v_с - v_т = 20 - v_т$ км/ч.

Время, за которое катер прошел 33 км по течению: $$ t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{33}{20 + v_т} $$ Время, за которое катер прошел 27 км против течения: $$ t_{пр} = \frac{S_{пр}}{v_{пр}} = \frac{27}{20 - v_т} $$

По условию, время движения в обе стороны было одинаковым ($t_{по} = t_{пр}$), поэтому мы можем приравнять выражения для времени: $$ \frac{33}{20 + v_т} = \frac{27}{20 - v_т} $$

Решим полученное уравнение, чтобы найти скорость течения $v_т$: $$ 33 \cdot (20 - v_т) = 27 \cdot (20 + v_т) $$ $$ 660 - 33v_т = 540 + 27v_т $$ $$ 660 - 540 = 27v_т + 33v_т $$ $$ 120 = 60v_т $$ $$ v_т = \frac{120}{60} $$ $$ v_т = 2 $$ Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Вопрос задачи — сколько времени длилось все путешествие. Для этого найдем время движения в одну сторону, например, по течению: $$ t_{по} = \frac{33}{20 + v_т} = \frac{33}{20 + 2} = \frac{33}{22} = 1.5 $$ Время движения в одну сторону составляет 1,5 часа.

Так как катер плыл по течению и против течения одинаковое количество времени, общее время путешествия ($T_{общ}$) равно: $$ T_{общ} = t_{по} + t_{пр} = 1.5 + 1.5 = 3 $$ Все путешествие длилось 3 часа.

Ответ: путешествие длилось 3 часа.