Номер 422, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 422, страница 172.

422 Прочитайте задачу:

«Расстояние между городами 600 км. Автомобиль проходит это расстояние со скоростью, на 20 км/ч большей, чем автобус, и тратит на дорогу на $1\frac{1}{2}$ ч меньше. С какой скоростью движется автомобиль?»

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой $x$ обозначена скорость движения автомобиля (в км/ч)?

1) $\frac{600}{x} - \frac{600}{x-20} = \frac{3}{2}$

2) $\frac{600}{x} - \frac{600}{x+20} = \frac{3}{2}$

3) $\frac{600}{x-20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

4) $\frac{600}{x+20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

Для ответа на вопросы задачи сначала необходимо составить математическую модель, описывающую её условия.

Пусть $x$ км/ч — это скорость движения автомобиля. По условию, скорость автомобиля на 20 км/ч больше, чем скорость автобуса. Следовательно, скорость автобуса равна $(x - 20)$ км/ч.

Расстояние между городами составляет 600 км. Время в пути ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое затратил на дорогу автомобиль: $t_{автомобиля} = \frac{600}{x}$ ч.

Время, которое затратил на дорогу автобус: $t_{автобуса} = \frac{600}{x - 20}$ ч.

Из условия известно, что автомобиль тратит на дорогу на $1\frac{1}{2}$ ч меньше, чем автобус. Это значит, что время движения автобуса больше времени движения автомобиля на это значение. Преобразуем смешанное число в дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разность времени движения автобуса и автомобиля к $\frac{3}{2}$:

$t_{автобуса} - t_{автомобиля} = \frac{3}{2}$

Подставим выражения для времени:

$\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой x обозначена скорость движения автомобиля (в км/ч)?

Полученное нами уравнение $\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

С какой скоростью движется автомобиль?

Для нахождения скорости автомобиля решим составленное уравнение:

$\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 20)$:

$\frac{600x - 600(x - 20)}{x(x - 20)} = \frac{3}{2}$

$\frac{600x - 600x + 12000}{x^2 - 20x} = \frac{3}{2}$

$\frac{12000}{x^2 - 20x} = \frac{3}{2}$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3(x^2 - 20x) = 12000 \cdot 2$

$3x^2 - 60x = 24000$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

$x^2 - 20x = 8000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x - 8000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 180}{2} = \frac{200}{2} = 100$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 180}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Таким образом, скорость автомобиля составляет 100 км/ч.

Ответ: 100 км/ч.