Номер 428, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 428, страница 173.

428 Из города А в город В, расстояние между которыми 140 км, выехал поезд. В середине пути он был задержан на 24 мин, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в город В без опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Общее расстояние между городами А и В составляет 140 км. Поезд был задержан на середине пути, то есть после того, как проехал расстояние $S_1 = \frac{140}{2} = 70$ км. Оставшаяся часть пути $S_2$ также равна 70 км.

Время задержки составляет 24 минуты. Для использования в расчетах со скоростью в км/ч, переведем минуты в часы: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$

По условию, поезд прибыл в город В без опоздания. Это означает, что время, потерянное на остановке, было скомпенсировано за счет увеличения скорости на второй половине пути. Другими словами, время, которое поезд сэкономил на втором участке, равно времени задержки.

Время, которое поезд потратил бы на вторую половину пути (70 км) с первоначальной скоростью $v$, равно $t_{план} = \frac{70}{v}$ ч.

На второй половине пути скорость поезда была увеличена на 20 км/ч и стала равна $v + 20$ км/ч. Фактическое время, затраченное на этот участок, составило $t_{факт} = \frac{70}{v + 20}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем равна времени задержки. Составим уравнение: $t_{план} - t_{факт} = \frac{2}{5}$
$\frac{70}{v} - \frac{70}{v + 20} = \frac{2}{5}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 20)$: $\frac{70(v + 20) - 70v}{v(v + 20)} = \frac{2}{5}$
Раскроем скобки в числителе: $\frac{70v + 1400 - 70v}{v^2 + 20v} = \frac{2}{5}$
$\frac{1400}{v^2 + 20v} = \frac{2}{5}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $2(v^2 + 20v) = 1400 \cdot 5$
$2v^2 + 40v = 7000$

Разделим обе части уравнения на 2 и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения ($ax^2 + bx + c = 0$): $v^2 + 20v = 3500$
$v^2 + 20v - 3500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $v = \frac{-20 \pm \sqrt{14400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 120}{2}$

Уравнение имеет два корня: $v_1 = \frac{-20 + 120}{2} = \frac{100}{2} = 50$
$v_2 = \frac{-20 - 120}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -70$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда равна 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.