Номер 432, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 432, страница 174.

432 Расстояние между городами $A$ и $B$ по железной дороге равно 80 км, а по водному пути — 100 км. Из города $A$ выходит теплоход, скорость которого на 30 км/ч меньше скорости поезда. Поезд выходит из города $A$ на 1 ч 30 мин позже и прибывает в город $B$ на 30 мин раньше теплохода. Найдите скорость теплохода.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода. Тогда, согласно условию, скорость поезда равна $(x + 30)$ км/ч.

Расстояние, которое должен преодолеть теплоход по водному пути, составляет 100 км. Время, которое он затратит на этот путь, равно:

$t_{теплохода} = \frac{S_{водный}}{v_{теплохода}} = \frac{100}{x}$ часов.

Расстояние, которое должен преодолеть поезд по железной дороге, составляет 80 км. Время, которое он затратит на этот путь, равно:

$t_{поезда} = \frac{S_{ж/д}}{v_{поезда}} = \frac{80}{x+30}$ часов.

Из условия задачи известно, что поезд выходит на 1 час 30 минут (1,5 часа) позже теплохода, а прибывает на 30 минут (0,5 часа) раньше. Это означает, что общее время в пути у поезда меньше, чем у теплохода. Разница во времени движения составляет сумму этих двух временных интервалов:

$\Delta t = 1.5 \text{ ч} + 0.5 \text{ ч} = 2 \text{ часа}$

Таким образом, время движения теплохода на 2 часа больше времени движения поезда. Составим уравнение:

$t_{теплохода} - t_{поезда} = 2$

$\frac{100}{x} - \frac{80}{x+30} = 2$

Для решения уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(x+30)$, при условии, что $x > 0$ (скорость является положительной величиной).

$100(x+30) - 80x = 2x(x+30)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$100x + 3000 - 80x = 2x^2 + 60x$

$20x + 3000 = 2x^2 + 60x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + 60x - 20x - 3000 = 0$

$2x^2 + 40x - 3000 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 20x - 1500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1500) = 400 + 6000 = 6400$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{6400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 80}{2}$

$x_1 = \frac{-20 + 80}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-20 - 80}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -50$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость теплохода составляет 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.