Номер 436, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 436, страница 175.

436 Разберите, как составлено уравнение по условию задачи, и доведите решение задачи до конца.

Задача.

Электротехник и его ученик вместе выполнили работу за 8 ч. За сколько часов эту работу мог бы выполнить электротехник, работая один, если известно, что его ученик работает в 2 раза медленнее?

Решение.

Пусть электротехник может выполнить работу за x ч. Тогда 2x ч — время, за которое выполнит работу ученик;

$\frac{1}{x}$ — такую часть работы выполняет электротехник за 1 ч;

$\frac{1}{2x}$ — такую часть работы выполняет ученик за 1 ч;

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}$ — часть работы, которую выполняют за 1 ч электротехник и ученик, работая вместе.

За 8 ч, работая вместе, они выполнили всю работу, поэтому

$8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}\right) = 1.$

Разбор составления уравнения:

Уравнение, представленное в задаче, составлено на основе понятий производительности труда.

1. Весь объем работы принимается за единицу (1).

2. Пусть $x$ — время в часах, за которое электротехник выполняет всю работу самостоятельно.

3. По условию, ученик работает в 2 раза медленнее. Это означает, что на выполнение той же работы ему потребуется в 2 раза больше времени. Следовательно, время ученика — $2x$ часов.

4. Производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени (за 1 час).
- Производительность электротехника: $\frac{1}{x}$ часть работы в час.
- Производительность ученика: $\frac{1}{2x}$ часть работы в час.

5. Когда они работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}$.

6. Общий объем выполненной работы равен произведению совместной производительности на время работы. По условию, они выполнили всю работу (1) за 8 часов. Отсюда и получается уравнение:
$8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}\right) = 1$

Решение.

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти $x$.
$8 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x}\right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $2x$:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{2}{2x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{2x}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$8 \cdot \frac{3}{2x} = 1$

Выполним умножение в левой части:
$\frac{24}{2x} = 1$

Сократим дробь на 2:
$\frac{12}{x} = 1$

Отсюда находим $x$:
$x = 12$

Следовательно, электротехник, работая один, может выполнить работу за 12 часов.

Ответ: электротехник мог бы выполнить эту работу за 12 часов.