Номер 443, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Системы уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 443, страница 183.

443 Пользуясь рисунком 3.15, составьте систему уравнений:

1) имеющую два решения;

$ \begin{cases} x^2 - y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} $

2) имеющую одно решение;

$ \begin{cases} xy = -12 \\ 4y - 3x = 24 \end{cases} $

3) не имеющую решений.

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ xy = -12 \end{cases} $

Рис. 3.15

Для решения задачи составим и решим системы уравнений, используя уравнения, предложенные на каждом из трех графиков. Количество решений системы уравнений соответствует количеству точек пересечения их графиков.

1) имеющую два решения;

Рассмотрим систему уравнений, соответствующую среднему рисунку:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y + 2x = 2 \end{cases} $

Эта система описывает пересечение окружности с центром в начале координат и радиусом 2, и прямой линии. Найдем точки пересечения, решив систему. Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 2 - 2x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (2 - 2x)^2 = 4$

$x^2 + 4 - 8x + 4x^2 = 4$

$5x^2 - 8x = 0$

$x(5x - 8) = 0$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{8}{5} = 1.6$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 - 2(0) = 2$.

При $x_2 = 1.6$, $y_2 = 2 - 2(1.6) = 2 - 3.2 = -1.2$.

Система имеет два решения: $(0; 2)$ и $(1.6; -1.2)$. Это соответствует количеству точек пересечения на среднем графике.

Ответ: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y + 2x = 2 \end{cases} $

2) имеющую одно решение;

Рассмотрим систему уравнений, соответствующую правому рисунку:

$ \begin{cases} xy = -12 \\ 4y - 3x = 24 \end{cases} $

Эта система описывает пересечение гиперболы и прямой. Хотя на графике кажется, что есть две точки пересечения, найдем точное количество решений алгебраически. Выразим $y$ из первого уравнения ($x \neq 0$): $y = -\frac{12}{x}$. Подставим во второе уравнение:

$4\left(-\frac{12}{x}\right) - 3x = 24$

$-\frac{48}{x} - 3x = 24$

Умножим обе части на $x$:

$-48 - 3x^2 = 24x$

$3x^2 + 24x + 48 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

Это полный квадрат: $(x + 4)^2 = 0$.

Уравнение имеет один действительный корень: $x = -4$.

Найдем соответствующее значение $y$: $y = -\frac{12}{-4} = 3$.

Система имеет ровно одно решение: $(-4; 3)$. Это означает, что прямая является касательной к гиперболе. Графическое изображение в задаче является неточным.

Ответ: $ \begin{cases} xy = -12 \\ 4y - 3x = 24 \end{cases} $

3) не имеющую решений.

Рассмотрим систему уравнений, соответствующую левому рисунку:

$ \begin{cases} x^2 - y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} $

Эта система описывает пересечение параболы и прямой. На рисунке изображены две точки пересечения, однако проверим это аналитически. Выразим $y$ из второго уравнения: $y = x - 4$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (x - 4) = 2$

$x^2 - x + 4 = 2$

$x^2 - x + 2 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений, и графики не пересекаются. Графическое изображение в задаче является неточным.

Ответ: $ \begin{cases} x^2 - y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} $