Номер 438, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 438, страница 175.

438 Для ремонта участка дороги выделили две бригады, одна из которых могла бы выполнить весь ремонт на 7 дней быстрее другой. Работу начали одновременно с двух концов участка и через 9 дней выполнили $75\%$ всей работы. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение ремонта всей дороги?

Пусть время, за которое первая (более быстрая) бригада может выполнить весь ремонт, работая в одиночку, составляет $x$ дней. Поскольку вторая бригада выполняет ту же работу на 7 дней дольше, ей потребуется $x+7$ дней.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) для первой бригады равна $\frac{1}{x}$, а для второй — $\frac{1}{x+7}$.

При совместной работе их общая производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+7}$.

По условию задачи, работая вместе в течение 9 дней, бригады выполнили 75% всей работы. 75% можно представить в виде дроби $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Составим уравнение, умножив общую производительность на время работы и приравняв к выполненному объему работы:$9 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+7}\right) = \frac{3}{4}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:$9 \cdot \frac{x+7+x}{x(x+7)} = \frac{3}{4}$

$9 \cdot \frac{2x+7}{x^2+7x} = \frac{3}{4}$

Разделим обе части уравнения на 3:$3 \cdot \frac{2x+7}{x^2+7x} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получим:$4 \cdot 3(2x+7) = 1 \cdot (x^2+7x)$

$12(2x+7) = x^2+7x$

$24x + 84 = x^2+7x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + 7x - 24x - 84 = 0$

$x^2 - 17x - 84 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 289 + 336 = 625$

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-(-17) + 25}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 25}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-(-17) - 25}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 25}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как количество дней не может быть отрицательным, корень $x_2 = -4$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, время выполнения работы первой бригадой составляет 21 день.

Время выполнения работы второй бригадой составляет:$x + 7 = 21 + 7 = 28$ дней.

Ответ: первой бригаде потребовалось бы 21 день, а второй — 28 дней.