Номер 431, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 431, страница 174.

431 Прогулочный маршрут на лодках включал движение по течению реки на расстояние 10 км и против течения реки на расстояние 6 км. Скорость течения реки 1 км/ч. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка заняла 2 ч, включая 15-минутную стоянку?

Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x+1)$ км/ч, а скорость против течения — $(x-1)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Общая продолжительность поездки составляет 2 часа, включая 15-минутную стоянку. Вычислим чистое время движения. Сначала переведем минуты в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$

Время, которое лодка находилась непосредственно в движении, составляет:

$T_{движ} = 2 \text{ ч} - 0.25 \text{ ч} = 1.75 \text{ ч} = \frac{7}{4} \text{ ч}$

Время, затраченное на путь по течению на расстояние 10 км, равно $t_1 = \frac{10}{x+1}$ ч. Время, затраченное на путь против течения на расстояние 6 км, равно $t_2 = \frac{6}{x-1}$ ч. Сумма этих времен равна общему времени движения. На основе этого составим уравнение:

$\frac{10}{x+1} + \frac{6}{x-1} = \frac{7}{4}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:

$\frac{10(x-1) + 6(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{7}{4}$

$\frac{10x - 10 + 6x + 6}{x^2 - 1} = \frac{7}{4}$

$\frac{16x - 4}{x^2 - 1} = \frac{7}{4}$

Применим правило пропорции (перекрестное умножение):

$4(16x - 4) = 7(x^2 - 1)$

$64x - 16 = 7x^2 - 7$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x^2 - 64x - 7 + 16 = 0$

$7x^2 - 64x + 9 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-64)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 9 = 4096 - 252 = 3844$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$.

Найдем значения $x$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{64 + 62}{2 \cdot 7} = \frac{126}{14} = 9$

$x_2 = \frac{64 - 62}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Мы получили два возможных значения для скорости лодки. Однако ранее мы установили условие, что $x > 1$. Корень $x_2 = \frac{1}{7}$ этому условию не удовлетворяет, так как при такой скорости лодка не сможет преодолеть течение реки. Следовательно, этот корень является посторонним.

Единственное подходящее решение — $x = 9$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки должна быть 9 км/ч.