Страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

429 Товарный поезд был задержан в пути на 21 мин, но на перегоне длиной 70 км он наверстал время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите скорость поезда в начале пути и на перегоне.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $v$ (км/ч) — это первоначальная скорость поезда, то есть скорость в начале пути.

Согласно условию, на перегоне длиной 70 км поезд увеличил свою скорость на 10 км/ч, чтобы наверстать время задержки. Таким образом, его новая скорость на этом участке составила $(v + 10)$ км/ч.

Задержка составила 21 минуту. Переведем это время в часы для согласованности единиц измерения: $21 \text{ мин} = \frac{21}{60} \text{ ч} = \frac{7}{20} \text{ ч}$.

Время, которое поезд должен был затратить на прохождение перегона в 70 км по расписанию (с первоначальной скоростью), вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{70}{v}$ ч.

Фактическое время, которое поезд затратил на этот же перегон с увеличенной скоростью, равно $t_2 = \frac{S}{v+10} = \frac{70}{v+10}$ ч.

Поезд наверстал 21 минуту, это означает, что разница между плановым и фактическим временем движения по перегону составляет как раз $\frac{7}{20}$ часа. На основании этого составим уравнение: $t_1 - t_2 = \frac{7}{20}$ $\frac{70}{v} - \frac{70}{v+10} = \frac{7}{20}$

Приступим к решению уравнения. Для упрощения разделим обе его части на 7: $\frac{10}{v} - \frac{10}{v+10} = \frac{1}{20}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$: $\frac{10(v+10) - 10v}{v(v+10)} = \frac{1}{20}$ $\frac{10v + 100 - 10v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{20}$ $\frac{100}{v^2 + 10v} = \frac{1}{20}$

Используем свойство пропорции (правило перекрестного умножения): $1 \cdot (v^2 + 10v) = 100 \cdot 20$ $v^2 + 10v = 2000$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 10v - 2000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$ $\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $v_1 = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40$ $v_2 = \frac{-10 - 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Скорость поезда не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -50$ не является решением задачи. Следовательно, искомая первоначальная скорость поезда $v$ равна 40 км/ч.

Скорость поезда в начале пути

Первоначальная скорость поезда, которую мы обозначили как $v$, составляет 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Скорость поезда на перегоне

На перегоне поезд увеличил скорость на 10 км/ч. Его скорость на этом участке была: $40 \text{ км/ч} + 10 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

Ответ: 50 км/ч.

430 Фирма получила заказ сшить к определённому сроку 60 костюмов. Подсчитав, каким должен быть ежедневный объём работы, мастер решил, что мастерская может шить на один костюм в день больше. В этом случае вся работа будет закончена на 3 дня раньше срока. За сколько дней требовалось выполнить заказ?

Пусть $t$ – это количество дней, за которое требовалось выполнить заказ по первоначальному плану.

Тогда плановая ежедневная производительность (объем работы) составляет $\frac{60}{t}$ костюмов в день.

По условию, мастерская решила шить на 1 костюм в день больше, значит, фактическая ежедневная производительность составила $(\frac{60}{t} + 1)$ костюмов в день.

В этом случае вся работа будет выполнена на 3 дня раньше срока, то есть за $(t - 3)$ дня.

Общий объем работы (60 костюмов) равен произведению фактической производительности на фактическое время. Составим уравнение: $$( \frac{60}{t} + 1 ) \cdot (t - 3) = 60$$

Для решения уравнения приведем выражение в первых скобках к общему знаменателю: $$ \frac{60 + t}{t} \cdot (t - 3) = 60 $$

Умножим обе части уравнения на $t$ (при условии, что $t \ne 0$, что логично, так как $t$ — это срок выполнения заказа): $$ (60 + t)(t - 3) = 60t $$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $$ 60 \cdot t - 60 \cdot 3 + t \cdot t - t \cdot 3 = 60t $$ $$ 60t - 180 + t^2 - 3t = 60t $$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ t^2 + 60t - 3t - 180 - 60t = 0 $$ $$ t^2 - 3t - 180 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=-3$, $c=-180$. $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 $$

Найдем корни уравнения по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15 $$ $$ t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

Корень $t_2 = -12$ не имеет физического смысла, так как количество дней не может быть отрицательным. Следовательно, единственный подходящий корень — это $t = 15$.

Таким образом, по плану на выполнение заказа требовалось 15 дней.

Ответ: 15

431 Прогулочный маршрут на лодках включал движение по течению реки на расстояние 10 км и против течения реки на расстояние 6 км. Скорость течения реки 1 км/ч. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка заняла 2 ч, включая 15-минутную стоянку?

Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x+1)$ км/ч, а скорость против течения — $(x-1)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Общая продолжительность поездки составляет 2 часа, включая 15-минутную стоянку. Вычислим чистое время движения. Сначала переведем минуты в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$

Время, которое лодка находилась непосредственно в движении, составляет:

$T_{движ} = 2 \text{ ч} - 0.25 \text{ ч} = 1.75 \text{ ч} = \frac{7}{4} \text{ ч}$

Время, затраченное на путь по течению на расстояние 10 км, равно $t_1 = \frac{10}{x+1}$ ч. Время, затраченное на путь против течения на расстояние 6 км, равно $t_2 = \frac{6}{x-1}$ ч. Сумма этих времен равна общему времени движения. На основе этого составим уравнение:

$\frac{10}{x+1} + \frac{6}{x-1} = \frac{7}{4}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:

$\frac{10(x-1) + 6(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{7}{4}$

$\frac{10x - 10 + 6x + 6}{x^2 - 1} = \frac{7}{4}$

$\frac{16x - 4}{x^2 - 1} = \frac{7}{4}$

Применим правило пропорции (перекрестное умножение):

$4(16x - 4) = 7(x^2 - 1)$

$64x - 16 = 7x^2 - 7$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$7x^2 - 64x - 7 + 16 = 0$

$7x^2 - 64x + 9 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-64)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 9 = 4096 - 252 = 3844$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62$.

Найдем значения $x$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{64 + 62}{2 \cdot 7} = \frac{126}{14} = 9$

$x_2 = \frac{64 - 62}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Мы получили два возможных значения для скорости лодки. Однако ранее мы установили условие, что $x > 1$. Корень $x_2 = \frac{1}{7}$ этому условию не удовлетворяет, так как при такой скорости лодка не сможет преодолеть течение реки. Следовательно, этот корень является посторонним.

Единственное подходящее решение — $x = 9$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки должна быть 9 км/ч.

432 Расстояние между городами $A$ и $B$ по железной дороге равно 80 км, а по водному пути — 100 км. Из города $A$ выходит теплоход, скорость которого на 30 км/ч меньше скорости поезда. Поезд выходит из города $A$ на 1 ч 30 мин позже и прибывает в город $B$ на 30 мин раньше теплохода. Найдите скорость теплохода.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода. Тогда, согласно условию, скорость поезда равна $(x + 30)$ км/ч.

Расстояние, которое должен преодолеть теплоход по водному пути, составляет 100 км. Время, которое он затратит на этот путь, равно:

$t_{теплохода} = \frac{S_{водный}}{v_{теплохода}} = \frac{100}{x}$ часов.

Расстояние, которое должен преодолеть поезд по железной дороге, составляет 80 км. Время, которое он затратит на этот путь, равно:

$t_{поезда} = \frac{S_{ж/д}}{v_{поезда}} = \frac{80}{x+30}$ часов.

Из условия задачи известно, что поезд выходит на 1 час 30 минут (1,5 часа) позже теплохода, а прибывает на 30 минут (0,5 часа) раньше. Это означает, что общее время в пути у поезда меньше, чем у теплохода. Разница во времени движения составляет сумму этих двух временных интервалов:

$\Delta t = 1.5 \text{ ч} + 0.5 \text{ ч} = 2 \text{ часа}$

Таким образом, время движения теплохода на 2 часа больше времени движения поезда. Составим уравнение:

$t_{теплохода} - t_{поезда} = 2$

$\frac{100}{x} - \frac{80}{x+30} = 2$

Для решения уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $x(x+30)$, при условии, что $x > 0$ (скорость является положительной величиной).

$100(x+30) - 80x = 2x(x+30)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$100x + 3000 - 80x = 2x^2 + 60x$

$20x + 3000 = 2x^2 + 60x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 + 60x - 20x - 3000 = 0$

$2x^2 + 40x - 3000 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 + 20x - 1500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1500) = 400 + 6000 = 6400$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{6400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 80}{2}$

$x_1 = \frac{-20 + 80}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-20 - 80}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -50$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость теплохода составляет 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

433 Сергей, работая в фирме «Книга — почтой», получил задание упаковать за определённое время 60 бандеролей. В течение первых двух часов он упаковывал на 2 бандероли в час меньше, чем предполагалось по норме, а затем стал упаковывать на 4 бандероли в час больше нормы. В результате уже за час до установленного срока ему оставалось упаковать 2 бандероли. На какое время было рассчитано задание?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $T$ — это плановое время в часах, на которое было рассчитано задание, а $x$ — плановая производительность упаковки, то есть количество бандеролей в час.

По условию, всего нужно было упаковать 60 бандеролей. Следовательно, плановая производительность и плановое время связаны соотношением:

$x \cdot T = 60$

Из этого уравнения можно выразить плановую производительность через время: $x = \frac{60}{T}$.

В течение первых двух часов Сергей работал с производительностью на 2 бандероли в час меньше плановой, то есть $x - 2$ бандероли/час. За это время он упаковал:

$2 \cdot (x - 2)$ бандеролей.

После этого он начал работать с производительностью на 4 бандероли в час больше плановой, то есть $x + 4$ бандероли/час.

В условии сказано, что за час до установленного срока ($T - 1$ часов с начала работы) ему оставалось упаковать 2 бандероли. Это означает, что к этому моменту он упаковал $60 - 2 = 58$ бандеролей.

Общее время работы до этого момента составило $T - 1$ час. Из них 2 часа он работал с пониженной производительностью, а оставшееся время, то есть $(T - 1) - 2 = T - 3$ часа, — с повышенной.

Составим уравнение, описывающее общее количество упакованных бандеролей за $T - 1$ час:

(Работа за первые 2 часа) + (Работа за следующие $T-3$ часа) = 58 бандеролей

$2 \cdot (x - 2) + (T - 3) \cdot (x + 4) = 58$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $x$, которое мы получили ранее ($x = \frac{60}{T}$):

$2 \cdot (\frac{60}{T} - 2) + (T - 3) \cdot (\frac{60}{T} + 4) = 58$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$\frac{120}{T} - 4 + T \cdot \frac{60}{T} + 4T - 3 \cdot \frac{60}{T} - 12 = 58$

$\frac{120}{T} - 4 + 60 + 4T - \frac{180}{T} - 12 = 58$

Приведем подобные слагаемые:

$4T - \frac{60}{T} + 44 = 58$

Вычтем 44 из обеих частей:

$4T - \frac{60}{T} = 14$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на $T$ (поскольку время $T$ не может быть равно нулю):

$4T^2 - 60 = 14T$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4T^2 - 14T - 60 = 0$

Для удобства разделим уравнение на 2:

$2T^2 - 7T - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$

Найдем корни уравнения:

$T = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 17}{4}$

Получаем два возможных значения для $T$:

$T_1 = \frac{7 + 17}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$T_2 = \frac{7 - 17}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Так как время не может быть отрицательной величиной, единственным верным решением является $T = 6$.

Ответ: Задание было рассчитано на 6 часов.

434 На первые и вторые премии в конкурсе студенческих дипломных работ было выделено 15 000 р., причём 40% этих денег пошло на первые премии. Вторых премий было выдано на 4 больше, чем первых. Сколько студентов получили первые премии и сколько вторые, если известно, что вторая премия составила 50% первой?

1. Определение призовых фондов для каждой премии

Сначала найдем, какая сумма денег была выделена на первые и вторые премии в отдельности от общего фонда в $15\ 000$ рублей.

Сумма на первые премии: 40% от $15\ 000$ р.

$15\ 000 \cdot \frac{40}{100} = 15\ 000 \cdot 0,4 = 6\ 000$ рублей.

Сумма на вторые премии: оставшаяся часть денег.

$15\ 000 - 6\ 000 = 9\ 000$ рублей.

2. Составление системы уравнений

Введем переменные:

• Пусть $x$ — количество студентов, получивших первые премии.
• Пусть $y$ — количество студентов, получивших вторые премии.
• Пусть $p_1$ — размер одной первой премии в рублях.
• Пусть $p_2$ — размер одной второй премии в рублях.

Основываясь на условиях задачи, составим уравнения:

1. Вторых премий было выдано на 4 больше, чем первых: $y = x + 4$.

2. Вторая премия составила 50% первой: $p_2 = 0,5 \cdot p_1$.

3. Общая сумма, выплаченная за первые премии: $x \cdot p_1 = 6\ 000$.

4. Общая сумма, выплаченная за вторые премии: $y \cdot p_2 = 9\ 000$.

3. Решение системы уравнений

Теперь решим полученную систему. Подставим выражения для $y$ и $p_2$ из уравнений (1) и (2) в уравнение (4):

$(x + 4) \cdot (0,5 \cdot p_1) = 9\ 000$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $x$ и $p_1$:

$\begin{cases} x \cdot p_1 = 6\ 000 \\ (x + 4) \cdot 0,5 \cdot p_1 = 9\ 000 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $p_1$:

$p_1 = \frac{6\ 000}{x}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(x + 4) \cdot 0,5 \cdot \left(\frac{6\ 000}{x}\right) = 9\ 000$

Упростим левую часть:

$(x + 4) \cdot \frac{3\ 000}{x} = 9\ 000$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$ (количество студентов не может быть нулевым, поэтому $x \neq 0$):

$(x + 4) \cdot 3\ 000 = 9\ 000 \cdot x$

Разделим обе части на 3000 для упрощения вычислений:

$x + 4 = 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$4 = 3x - x$

$4 = 2x$

$x = \frac{4}{2} = 2$

Итак, количество студентов, получивших первые премии, равно 2.

4. Нахождение количества студентов, получивших вторые премии

Теперь найдем количество студентов, получивших вторые премии, используя уравнение $y = x + 4$:

$y = 2 + 4 = 6$

Количество студентов, получивших вторые премии, равно 6.

Ответ: Первые премии получили 2 студента, вторые премии получили 6 студентов.

435 Заказ на пошив сумок был распределён между мастером и его учеником. Мастер выполнил 75% заказа, сшив 90 сумок. Количество сумок, которое шил в день ученик, составило 30% количества сумок, изготовляемых в день мастером, и он работал на один день дольше мастера. Сколько сумок в день шил мастер и сколько ученик?

Для решения этой задачи разобьем ее на несколько логических шагов.

1. Определение общего количества сумок в заказе.

По условию, мастер сшил 90 сумок, что составляет 75% всего заказа. Пусть $N$ — это общее количество сумок в заказе. Чтобы найти $N$, составим пропорцию:

$90 \text{ сумок} = 75\%$

$N \text{ сумок} = 100\%$

Отсюда находим $N$:

$N = \frac{90 \cdot 100}{75} = \frac{9000}{75} = 120$ сумок.

Таким образом, общий заказ составлял 120 сумок.

2. Определение количества сумок, сшитых учеником.

Ученик сшил оставшуюся часть заказа. Вычислим, сколько сумок это составляет:

$120 \text{ (всего)} - 90 \text{ (мастер)} = 30$ сумок.

Значит, ученик сшил 30 сумок.

3. Составление и решение уравнений.

Пусть $x$ — количество сумок, которое мастер шил в день (его производительность). Тогда производительность ученика, согласно условию, составляет 30% от производительности мастера, то есть $0.3x$ сумок в день.

Количество дней, которое работал мастер, можно выразить как $\frac{90}{x}$.

Количество дней, которое работал ученик, можно выразить как $\frac{30}{0.3x}$.

Известно, что ученик работал на один день дольше мастера. Составим уравнение:

$\frac{30}{0.3x} = \frac{90}{x} + 1$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{100}{x} = \frac{90}{x} + 1$

Теперь решим это уравнение. Перенесем $\frac{90}{x}$ в левую часть:

$\frac{100}{x} - \frac{90}{x} = 1$

$\frac{10}{x} = 1$

Отсюда следует, что $x = 10$.

Итак, мастер шил 10 сумок в день.

Теперь найдем, сколько сумок в день шил ученик:

$0.3 \cdot x = 0.3 \cdot 10 = 3$ сумки в день.

Проверка:

Мастер работал $90 \text{ сумок} / 10 \text{ сумок/день} = 9$ дней.

Ученик работал $30 \text{ сумок} / 3 \text{ сумки/день} = 10$ дней.

$10 \text{ дней} - 9 \text{ дней} = 1$ день. Ученик действительно работал на один день дольше. Все условия задачи выполнены.

Ответ: мастер шил 10 сумок в день, а ученик — 3 сумки в день.