Страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

420 а) Катер спустился по течению реки, пройдя $28\text{ км}$, и тотчас вернулся назад, затратив на весь путь $7\text{ ч}$. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна $3\text{ км/ч}$? Что ещё можно узнать, используя полученные данные?

б) Расстояние между двумя причалами по реке равно $12\text{ км}$. Лодка проходит этот путь в два конца за $2\text{ ч}$. Скорость течения реки $2,5\text{ км/ч}$. Определите, какое время занимает у лодки путь по течению реки.

а)

Пусть $v_{соб}$ — скорость катера в стоячей воде (собственная скорость), а $v_{теч}$ — скорость течения реки.
По условию задачи нам даны:
Расстояние в одну сторону $S = 28$ км.
Скорость течения реки $v_{теч} = 3$ км/ч.
Общее время в пути $t_{общ} = 7$ ч.

Скорость катера по течению равна $v_{по~теч} = v_{соб} + v_{теч} = v_{соб} + 3$ км/ч.
Скорость катера против течения равна $v_{пр~теч} = v_{соб} - v_{теч} = v_{соб} - 3$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по~теч} = \frac{S}{v_{по~теч}} = \frac{28}{v_{соб} + 3}$.
Время, затраченное на путь против течения: $t_{пр~теч} = \frac{S}{v_{пр~теч}} = \frac{28}{v_{соб} - 3}$.

Общее время движения равно сумме времени по течению и против течения:
$t_{общ} = t_{по~теч} + t_{пр~теч}$
Составим уравнение:
$\frac{28}{v_{соб} + 3} + \frac{28}{v_{соб} - 3} = 7$

Для решения разделим обе части уравнения на 28:
$\frac{1}{v_{соб} + 3} + \frac{1}{v_{соб} - 3} = \frac{7}{28}$
$\frac{(v_{соб} - 3) + (v_{соб} + 3)}{(v_{соб} + 3)(v_{соб} - 3)} = \frac{1}{4}$
$\frac{2v_{соб}}{v_{соб}^2 - 9} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем:
$4 \cdot 2v_{соб} = 1 \cdot (v_{соб}^2 - 9)$
$8v_{соб} = v_{соб}^2 - 9$
$v_{соб}^2 - 8v_{соб} - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Корни уравнения: $v_1 = 9$ и $v_2 = -1$.
Скорость не может быть отрицательной, поэтому собственная скорость катера равна 9 км/ч.

Что ещё можно узнать, используя полученные данные?
Зная собственную скорость катера, можно найти:
1. Скорость катера по течению: $v_{по~теч} = 9 + 3 = 12$ км/ч.
2. Скорость катера против течения: $v_{пр~теч} = 9 - 3 = 6$ км/ч.
3. Время, затраченное на путь по течению: $t_{по~теч} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ ч, что составляет 2 часа 20 минут.
4. Время, затраченное на путь против течения: $t_{пр~теч} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$ ч, что составляет 4 часа 40 минут.

Ответ: Скорость катера в стоячей воде равна 9 км/ч. Дополнительно можно узнать скорость катера по течению и против течения, а также время, затраченное на каждый из этих путей.

б)

Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость лодки, а $v_{теч}$ — скорость течения реки.
По условию задачи нам даны:
Расстояние между причалами $S = 12$ км.
Общее время в пути (туда и обратно) $t_{общ} = 2$ ч.
Скорость течения реки $v_{теч} = 2,5$ км/ч.
Нужно найти время, которое занимает путь по течению, то есть $t_{по~теч}$.

Для нахождения $t_{по~теч}$ нам нужна скорость лодки по течению $v_{по~теч} = v_{соб} + v_{теч}$. Для этого сначала найдем собственную скорость лодки $v_{соб}$.

Аналогично предыдущей задаче, составим уравнение для общего времени в пути:
$t_{общ} = t_{по~теч} + t_{пр~теч}$
$\frac{12}{v_{соб} + 2,5} + \frac{12}{v_{соб} - 2,5} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2:
$\frac{6}{v_{соб} + 2,5} + \frac{6}{v_{соб} - 2,5} = 1$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{6(v_{соб} - 2,5) + 6(v_{соб} + 2,5)}{(v_{соб} + 2,5)(v_{соб} - 2,5)} = 1$
$\frac{6v_{соб} - 15 + 6v_{соб} + 15}{v_{соб}^2 - (2,5)^2} = 1$
$\frac{12v_{соб}}{v_{соб}^2 - 6,25} = 1$

Отсюда получаем уравнение:
$v_{соб}^2 - 6,25 = 12v_{соб}$
$v_{соб}^2 - 12v_{соб} - 6,25 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$4v_{соб}^2 - 48v_{соб} - 25 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4(4)(-25) = 2304 + 400 = 2704$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{2704} = 52$.
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 + 52}{2 \cdot 4} = \frac{100}{8} = 12,5$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 - 52}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -0,5$
Скорость не может быть отрицательной, следовательно, собственная скорость лодки $v_{соб} = 12,5$ км/ч.

Теперь можем найти время, которое лодка затратила на путь по течению.
Скорость по течению: $v_{по~теч} = v_{соб} + v_{теч} = 12,5 + 2,5 = 15$ км/ч.
Время по течению: $t_{по~теч} = \frac{S}{v_{по~теч}} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ часа.

Переведем время в минуты: $\frac{4}{5} \cdot 60 = 48$ минут.

Ответ: Время, которое занимает у лодки путь по течению реки, равно 48 минут (или 0,8 часа).

421 Составьте разные уравнения по условию задачи. Решите её. Премиальный фонд в 72 000 р. решено было распределить в конце года между сотрудниками отдела поровну. В течение года 6 человек ушли из отдела, поэтому каждый из сотрудников получил на 1000 р. больше, чем предполагалось. Сколько сотрудников было в отделе первоначально и сколько стало к концу года?

Для решения этой задачи можно составить разные уравнения, выбрав в качестве неизвестной переменной либо первоначальное, либо конечное количество сотрудников. Рассмотрим оба способа.

Способ 1. Неизвестная — первоначальное количество сотрудников

Пусть $x$ — это первоначальное количество сотрудников в отделе. Тогда премия, которую планировалось выплатить каждому, составляет $\frac{72000}{x}$ рублей.

В течение года 6 человек ушли, следовательно, в отделе осталось $(x-6)$ сотрудников. Премиальный фонд был разделен между ними, и каждый получил $\frac{72000}{x-6}$ рублей.

По условию задачи, фактическая выплата оказалась на 1000 рублей больше планируемой. На основании этого составим уравнение:

$\frac{72000}{x-6} - \frac{72000}{x} = 1000$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 1000:

$\frac{72}{x-6} - \frac{72}{x} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-6)$:

$\frac{72x - 72(x-6)}{x(x-6)} = 1$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{72x - 72x + 432}{x^2 - 6x} = 1$

$\frac{432}{x^2 - 6x} = 1$

Так как количество сотрудников не может быть равно 0 или 6 (иначе знаменатель обращается в ноль), мы можем записать:

$x^2 - 6x = 432$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 432 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 42}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 42}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Количество сотрудников не может быть отрицательным, поэтому корень $x_2 = -18$ не соответствует условию задачи. Значит, первоначально в отделе было 24 сотрудника.

Количество сотрудников к концу года: $24 - 6 = 18$.

Ответ: первоначально в отделе было 24 сотрудника, а к концу года стало 18 сотрудников.

Способ 2. Неизвестная — конечное количество сотрудников

Пусть $y$ — это конечное количество сотрудников в отделе. Тогда фактическая премия на одного человека составила $\frac{72000}{y}$ рублей.

До того как 6 человек ушли, в отделе было $(y+6)$ сотрудников. Планируемая премия на каждого составляла $\frac{72000}{y+6}$ рублей.

Фактическая премия на 1000 рублей больше планируемой. Составим уравнение:

$\frac{72000}{y} - \frac{72000}{y+6} = 1000$

Разделим обе части на 1000:

$\frac{72}{y} - \frac{72}{y+6} = 1$

Приведем к общему знаменателю $y(y+6)$:

$\frac{72(y+6) - 72y}{y(y+6)} = 1$

$\frac{72y + 432 - 72y}{y^2 + 6y} = 1$

$\frac{432}{y^2 + 6y} = 1$

Учитывая, что $y \ne 0$ и $y \ne -6$, получаем:

$y^2 + 6y = 432$

$y^2 + 6y - 432 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-432) = 36 + 1728 = 1764$

$\sqrt{D} = 42$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 42}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Корень $y_2 = -24$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, к концу года в отделе осталось 18 сотрудников.

Первоначальное количество сотрудников: $18 + 6 = 24$.

Ответ: первоначально в отделе было 24 сотрудника, а к концу года стало 18 сотрудников.

422 Прочитайте задачу:

«Расстояние между городами 600 км. Автомобиль проходит это расстояние со скоростью, на 20 км/ч большей, чем автобус, и тратит на дорогу на $1\frac{1}{2}$ ч меньше. С какой скоростью движется автомобиль?»

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой $x$ обозначена скорость движения автомобиля (в км/ч)?

1) $\frac{600}{x} - \frac{600}{x-20} = \frac{3}{2}$

2) $\frac{600}{x} - \frac{600}{x+20} = \frac{3}{2}$

3) $\frac{600}{x-20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

4) $\frac{600}{x+20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

Для ответа на вопросы задачи сначала необходимо составить математическую модель, описывающую её условия.

Пусть $x$ км/ч — это скорость движения автомобиля. По условию, скорость автомобиля на 20 км/ч больше, чем скорость автобуса. Следовательно, скорость автобуса равна $(x - 20)$ км/ч.

Расстояние между городами составляет 600 км. Время в пути ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое затратил на дорогу автомобиль: $t_{автомобиля} = \frac{600}{x}$ ч.

Время, которое затратил на дорогу автобус: $t_{автобуса} = \frac{600}{x - 20}$ ч.

Из условия известно, что автомобиль тратит на дорогу на $1\frac{1}{2}$ ч меньше, чем автобус. Это значит, что время движения автобуса больше времени движения автомобиля на это значение. Преобразуем смешанное число в дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разность времени движения автобуса и автомобиля к $\frac{3}{2}$:

$t_{автобуса} - t_{автомобиля} = \frac{3}{2}$

Подставим выражения для времени:

$\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой x обозначена скорость движения автомобиля (в км/ч)?

Полученное нами уравнение $\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

С какой скоростью движется автомобиль?

Для нахождения скорости автомобиля решим составленное уравнение:

$\frac{600}{x - 20} - \frac{600}{x} = \frac{3}{2}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 20)$:

$\frac{600x - 600(x - 20)}{x(x - 20)} = \frac{3}{2}$

$\frac{600x - 600x + 12000}{x^2 - 20x} = \frac{3}{2}$

$\frac{12000}{x^2 - 20x} = \frac{3}{2}$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3(x^2 - 20x) = 12000 \cdot 2$

$3x^2 - 60x = 24000$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

$x^2 - 20x = 8000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 20x - 8000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 180}{2} = \frac{200}{2} = 100$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 180}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Поскольку скорость $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Таким образом, скорость автомобиля составляет 100 км/ч.

Ответ: 100 км/ч.

Ответьте на вопрос задачи, составив и решив уравнение
(423–425).

423 а) Книгу в 30 страниц Катя может прочитать на 15 мин быстрее Оли. Скорость чтения Кати в 1,5 раза больше скорости, с которой читает Оля. Сколько страниц в час читает каждая девочка?

б) Расстояние от дома до школы равно 1200 м. Таня проходит это расстояние на 5 мин быстрее, чем её младший брат, так как её скорость на 20 м/мин больше скорости брата. Сколько минут идёт от дома до школы Таня и сколько её брат?

а)

Пусть скорость чтения Оли равна $v_O$ страниц в час, а скорость чтения Кати — $v_K$ страниц в час.

По условию, скорость чтения Кати в 1,5 раза больше скорости Оли, значит:

$v_K = 1.5 \cdot v_O$

Время, которое требуется каждой девочке, чтобы прочитать книгу в 30 страниц, можно выразить через их скорости. Время $t$ находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — объем работы (количество страниц), а $v$ — скорость.

Время Оли: $t_O = \frac{30}{v_O}$ часов.

Время Кати: $t_K = \frac{30}{v_K} = \frac{30}{1.5v_O}$ часов.

Известно, что Катя читает книгу на 15 минут быстрее. Переведем 15 минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ часа} = \frac{1}{4} \text{ часа} = 0.25$ часа.

Разница во времени составляет:

$t_O - t_K = 0.25$

Составим и решим уравнение, подставив выражения для времени:

$\frac{30}{v_O} - \frac{30}{1.5v_O} = 0.25$

Упростим второе слагаемое: $\frac{30}{1.5} = 20$.

$\frac{30}{v_O} - \frac{20}{v_O} = 0.25$

$\frac{10}{v_O} = 0.25$

Теперь найдем $v_O$:

$v_O = \frac{10}{0.25} = 10 \cdot 4 = 40$ страниц в час.

Это скорость чтения Оли. Теперь найдем скорость чтения Кати:

$v_K = 1.5 \cdot v_O = 1.5 \cdot 40 = 60$ страниц в час.

Ответ: Оля читает 40 страниц в час, а Катя — 60 страниц в час.

б)

Пусть время в пути брата равно $t$ минут. Тогда время в пути Тани равно $(t-5)$ минут, так как она идет на 5 минут быстрее.

Расстояние от дома до школы равно $S = 1200$ м.

Скорость $v$ можно найти по формуле $v = S/t$.

Скорость брата: $v_Б = \frac{1200}{t}$ м/мин.

Скорость Тани: $v_Т = \frac{1200}{t-5}$ м/мин.

По условию, скорость Тани на 20 м/мин больше скорости брата. Составим уравнение на основе этой информации:

$v_Т - v_Б = 20$

$\frac{1200}{t-5} - \frac{1200}{t} = 20$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t(t-5)$:

$\frac{1200t - 1200(t-5)}{t(t-5)} = 20$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{1200t - 1200t + 6000}{t^2 - 5t} = 20$

$\frac{6000}{t^2 - 5t} = 20$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $(t^2 - 5t)$:

$6000 = 20(t^2 - 5t)$

Разделим обе части уравнения на 20:

$300 = t^2 - 5t$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 300 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1225} = 35$.

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$t_2 = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -15$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, время в пути брата $t = 20$ минут.

Время в пути Тани составляет:

$t - 5 = 20 - 5 = 15$ минут.

Ответ: Таня идёт от дома до школы 15 минут, а её брат — 20 минут.