Номер 423, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 423, страница 172.

Ответьте на вопрос задачи, составив и решив уравнение
(423–425).

423 а) Книгу в 30 страниц Катя может прочитать на 15 мин быстрее Оли. Скорость чтения Кати в 1,5 раза больше скорости, с которой читает Оля. Сколько страниц в час читает каждая девочка?

б) Расстояние от дома до школы равно 1200 м. Таня проходит это расстояние на 5 мин быстрее, чем её младший брат, так как её скорость на 20 м/мин больше скорости брата. Сколько минут идёт от дома до школы Таня и сколько её брат?

а)

Пусть скорость чтения Оли равна $v_O$ страниц в час, а скорость чтения Кати — $v_K$ страниц в час.

По условию, скорость чтения Кати в 1,5 раза больше скорости Оли, значит:

$v_K = 1.5 \cdot v_O$

Время, которое требуется каждой девочке, чтобы прочитать книгу в 30 страниц, можно выразить через их скорости. Время $t$ находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — объем работы (количество страниц), а $v$ — скорость.

Время Оли: $t_O = \frac{30}{v_O}$ часов.

Время Кати: $t_K = \frac{30}{v_K} = \frac{30}{1.5v_O}$ часов.

Известно, что Катя читает книгу на 15 минут быстрее. Переведем 15 минут в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ часа} = \frac{1}{4} \text{ часа} = 0.25$ часа.

Разница во времени составляет:

$t_O - t_K = 0.25$

Составим и решим уравнение, подставив выражения для времени:

$\frac{30}{v_O} - \frac{30}{1.5v_O} = 0.25$

Упростим второе слагаемое: $\frac{30}{1.5} = 20$.

$\frac{30}{v_O} - \frac{20}{v_O} = 0.25$

$\frac{10}{v_O} = 0.25$

Теперь найдем $v_O$:

$v_O = \frac{10}{0.25} = 10 \cdot 4 = 40$ страниц в час.

Это скорость чтения Оли. Теперь найдем скорость чтения Кати:

$v_K = 1.5 \cdot v_O = 1.5 \cdot 40 = 60$ страниц в час.

Ответ: Оля читает 40 страниц в час, а Катя — 60 страниц в час.

б)

Пусть время в пути брата равно $t$ минут. Тогда время в пути Тани равно $(t-5)$ минут, так как она идет на 5 минут быстрее.

Расстояние от дома до школы равно $S = 1200$ м.

Скорость $v$ можно найти по формуле $v = S/t$.

Скорость брата: $v_Б = \frac{1200}{t}$ м/мин.

Скорость Тани: $v_Т = \frac{1200}{t-5}$ м/мин.

По условию, скорость Тани на 20 м/мин больше скорости брата. Составим уравнение на основе этой информации:

$v_Т - v_Б = 20$

$\frac{1200}{t-5} - \frac{1200}{t} = 20$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t(t-5)$:

$\frac{1200t - 1200(t-5)}{t(t-5)} = 20$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{1200t - 1200t + 6000}{t^2 - 5t} = 20$

$\frac{6000}{t^2 - 5t} = 20$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $(t^2 - 5t)$:

$6000 = 20(t^2 - 5t)$

Разделим обе части уравнения на 20:

$300 = t^2 - 5t$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 300 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1225} = 35$.

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$t_2 = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -15$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, время в пути брата $t = 20$ минут.

Время в пути Тани составляет:

$t - 5 = 20 - 5 = 15$ минут.

Ответ: Таня идёт от дома до школы 15 минут, а её брат — 20 минут.