Номер 427, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 427, страница 173.

427 Из города в посёлок, расстояние до которого 40 км, одновременно выехали автобус и автомобиль. Скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости автобуса, поэтому он пришёл в посёлок на 40 мин раньше автобуса. Какова скорость автобуса?

Пусть скорость автобуса равна $x$ км/ч. Тогда скорость автомобиля, которая на 30 км/ч больше, будет равна $(x + 30)$ км/ч. Расстояние от города до посёлка составляет 40 км.

Время, которое затратил на путь автобус, можно найти по формуле $t = S/v$. Для автобуса это $t_{автобуса} = \frac{40}{x}$ часов.

Время, которое затратил на путь автомобиль, составляет $t_{автомобиля} = \frac{40}{x+30}$ часов.

По условию задачи, автомобиль пришёл в посёлок на 40 минут раньше автобуса. Переведем разницу во времени в часы: 40 минут = $\frac{40}{60}$ часа = $\frac{2}{3}$ часа. Это означает, что время автобуса в пути было на $\frac{2}{3}$ часа больше, чем время автомобиля. Составим уравнение:

$t_{автобуса} - t_{автомобиля} = \frac{2}{3}$

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x+30} = \frac{2}{3}$

Для решения разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить вычисления:

$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+30} = \frac{1}{3}$

Приведём левую часть к общему знаменателю $x(x+30)$:

$\frac{20(x+30) - 20x}{x(x+30)} = \frac{1}{3}$

$\frac{20x + 600 - 20x}{x^2 + 30x} = \frac{1}{3}$

$\frac{600}{x^2 + 30x} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$x^2 + 30x = 600 \cdot 3$

$x^2 + 30x = 1800$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 30x - 1800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Теперь найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, скорость автобуса равна 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.