Номер 433, страница 174 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 433, страница 174.

433 Сергей, работая в фирме «Книга — почтой», получил задание упаковать за определённое время 60 бандеролей. В течение первых двух часов он упаковывал на 2 бандероли в час меньше, чем предполагалось по норме, а затем стал упаковывать на 4 бандероли в час больше нормы. В результате уже за час до установленного срока ему оставалось упаковать 2 бандероли. На какое время было рассчитано задание?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $T$ — это плановое время в часах, на которое было рассчитано задание, а $x$ — плановая производительность упаковки, то есть количество бандеролей в час.

По условию, всего нужно было упаковать 60 бандеролей. Следовательно, плановая производительность и плановое время связаны соотношением:

$x \cdot T = 60$

Из этого уравнения можно выразить плановую производительность через время: $x = \frac{60}{T}$.

В течение первых двух часов Сергей работал с производительностью на 2 бандероли в час меньше плановой, то есть $x - 2$ бандероли/час. За это время он упаковал:

$2 \cdot (x - 2)$ бандеролей.

После этого он начал работать с производительностью на 4 бандероли в час больше плановой, то есть $x + 4$ бандероли/час.

В условии сказано, что за час до установленного срока ($T - 1$ часов с начала работы) ему оставалось упаковать 2 бандероли. Это означает, что к этому моменту он упаковал $60 - 2 = 58$ бандеролей.

Общее время работы до этого момента составило $T - 1$ час. Из них 2 часа он работал с пониженной производительностью, а оставшееся время, то есть $(T - 1) - 2 = T - 3$ часа, — с повышенной.

Составим уравнение, описывающее общее количество упакованных бандеролей за $T - 1$ час:

(Работа за первые 2 часа) + (Работа за следующие $T-3$ часа) = 58 бандеролей

$2 \cdot (x - 2) + (T - 3) \cdot (x + 4) = 58$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $x$, которое мы получили ранее ($x = \frac{60}{T}$):

$2 \cdot (\frac{60}{T} - 2) + (T - 3) \cdot (\frac{60}{T} + 4) = 58$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$\frac{120}{T} - 4 + T \cdot \frac{60}{T} + 4T - 3 \cdot \frac{60}{T} - 12 = 58$

$\frac{120}{T} - 4 + 60 + 4T - \frac{180}{T} - 12 = 58$

Приведем подобные слагаемые:

$4T - \frac{60}{T} + 44 = 58$

Вычтем 44 из обеих частей:

$4T - \frac{60}{T} = 14$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на $T$ (поскольку время $T$ не может быть равно нулю):

$4T^2 - 60 = 14T$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4T^2 - 14T - 60 = 0$

Для удобства разделим уравнение на 2:

$2T^2 - 7T - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$

Найдем корни уравнения:

$T = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 17}{4}$

Получаем два возможных значения для $T$:

$T_1 = \frac{7 + 17}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$T_2 = \frac{7 - 17}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Так как время не может быть отрицательной величиной, единственным верным решением является $T = 6$.

Ответ: Задание было рассчитано на 6 часов.