Номер 425, страница 173 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.4. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 425, страница 173.

425 а) Дорога от посёлка Аникеевка до посёлка Баковка состоит из двух участков: 6 км подъёма и 5 км спуска. Велосипедист доехал от Аникеевки до Баковки за 1 ч. Его скорость при подъёме на 12 км/ч меньше, чем при спуске. Найдите скорость велосипедиста при подъёме и при спуске.

б) Пешеход прошёл путь от Баковки до Аникеевки (см. задачу а)) за 2 ч 40 мин. Его скорость при спуске на 3 км/ч больше, чем при подъёме. За какое время пешеход пройдёт обратный путь?

Указание. Обозначьте буквой $x$ скорость пешехода (в км/ч) на одном из участков пути.

а)

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста при подъёме. По условию, его скорость при подъёме на 12 км/ч меньше, чем при спуске, значит, скорость при спуске составляет $(x + 12)$ км/ч.

Дорога от Аникеевки до Баковки состоит из 6 км подъёма и 5 км спуска. Время, которое велосипедист затратил на подъём, равно $t_{подъём} = \frac{s}{v} = \frac{6}{x}$ ч. Время, затраченное на спуск, равно $t_{спуск} = \frac{5}{x+12}$ ч.

Общее время в пути составляет 1 час. Составим и решим уравнение:

$\frac{6}{x} + \frac{5}{x+12} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x+12)$, при условии что $x > 0$.

$6(x+12) + 5x = x(x+12)$

$6x + 72 + 5x = x^2 + 12x$

$11x + 72 = x^2 + 12x$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 11x - 72 = 0$

$x^2 + x - 72 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. По теореме Виета, произведение корней равно -72, а их сумма равна -1. Этим числам соответствуют -9 и 8.

$x_1 = -9$ (не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной).

$x_2 = 8$ (удовлетворяет условию).

Таким образом, скорость велосипедиста при подъёме равна 8 км/ч.

Найдём его скорость при спуске:

$8 + 12 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста при подъёме — 8 км/ч, при спуске — 20 км/ч.

б)

Пешеход идёт из Баковки в Аникеевку. Это обратное направление по сравнению с движением велосипедиста. Следовательно, для пешехода подъём составляет 5 км (то, что для велосипедиста было спуском), а спуск — 6 км (то, что было подъёмом).

Общее время в пути пешехода: 2 ч 40 мин. Переведём это время в часы: $2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3}$ ч.

Следуя указанию, обозначим за $x$ км/ч скорость пешехода при подъёме. По условию, его скорость при спуске на 3 км/ч больше, значит, она равна $(x + 3)$ км/ч.

Составим уравнение, исходя из времени, затраченного на путь из Баковки в Аникеевку:

$\frac{5}{x} + \frac{6}{x+3} = \frac{8}{3}$

Приведём уравнение к общему знаменателю $3x(x+3)$, при условии $x > 0$:

$3 \cdot 5(x+3) + 3 \cdot 6x = 8x(x+3)$

$15(x+3) + 18x = 8x^2 + 24x$

$15x + 45 + 18x = 8x^2 + 24x$

$33x + 45 = 8x^2 + 24x$

Приведём к стандартному виду квадратного уравнения:

$8x^2 + 24x - 33x - 45 = 0$

$8x^2 - 9x - 45 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-45) = 81 + 1440 = 1521$

$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 39}{2 \cdot 8} = \frac{9 \pm 39}{16}$

$x_1 = \frac{9+39}{16} = \frac{48}{16} = 3$ (удовлетворяет условию).

$x_2 = \frac{9-39}{16} = -\frac{30}{16}$ (не удовлетворяет условию задачи).

Итак, скорость пешехода при подъёме равна 3 км/ч, а при спуске — $3+3=6$ км/ч.

Теперь найдём время, за которое пешеход пройдёт обратный путь (из Аникеевки в Баковку). На этом пути подъём составит 6 км, а спуск — 5 км.

Время на подъём: $t_{подъём} = \frac{6 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 2$ ч.

Время на спуск: $t_{спуск} = \frac{5 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = \frac{5}{6}$ ч.

Общее время на обратный путь:

$T_{обр} = 2 + \frac{5}{6} = 2\frac{5}{6}$ ч.

Переведём дробную часть в минуты: $\frac{5}{6} \text{ ч} = \frac{5}{6} \cdot 60 \text{ мин} = 50$ мин.

Таким образом, общее время составит 2 часа 50 минут.

Ответ: пешеход пройдёт обратный путь за 2 ч 50 мин.